208
Théorie des groupes
6) Il faut démontrer que N(G) est stable pour les deux opérations. : c'est bien connu pour /\,
car l'intersection de deux sous-groupes normaux dans G est un sous-groupe normal dans
G: cf. l'exercice . En ce qui concerne l'opération V, commençons par rappeler que:
(H,K) =HK
dès que l'un des deux groupes est normal dans G. Si les deux sous-groupes sont normaux
dans G et si l'on considère un élément g de G, on a alors :
et donc H V K = HK est normal dans G.
Terminons en signalant que l'examen du treillis des sous-groupes, même complété par
celui des sous-groupes normaux ne permet pas de distinguer des groupes : deux groupes
peuvent avoir leur treillis de sous-groupes isomorphes sans être isomorphes.
6.5 DES GROUPES D'ORDRE 12
1) Pour chercher les sous-groupes d'un groupe fini, on peut procéder de façon systématique,
en considérant les sous-groupes engendrés par 1 élément, puis 2 éléments .... On peut également utiliser un logiciel de calcul formel spécifique comme GAP.
a) Commençons par le cas bien connu du groupe alterné Ai. Il y a trois éléments d'ordre
2, les trois double-transpositions u = (1, 2)(3, 4), v = (1, 3)(2, 4) et w = (1, 4)(2, 3) qui
engendrent chacune un sous-groupe à deux éléments; deux d'entre elles engendrent un
groupe à quatre éléments, isomorphe au groupe de Klein, qui est le seul 2-Sylow de Ai,
et est donc un sous-groupe normal d'ordre 4. Les autres éléments ( différents du neutre),
sont les huit 3-cycles, qui engendrent au total quatre sous-groupes d'ordre 3. On a déj à
constaté qu'il n'y a pas de sous-groupe à six éléments. Au total : 10 sous-groupes ( y
compris les deux triviaux).
b) Passons au groupe diédral 11)) 12 , engendré par une rotation r d'ordre 6, et par une symétrie CJ'. C'est le groupe des isométries qui conservent un hexagone, par exemple celui
qui joint les points d'affixes les racines sixième de l'unité. Il contient des sous-groupes
à deux éléments :
- (r
3 ); géométriquement, r
3
est -id, la symétrie par rapport au centre de l'hexagone.
Ce groupe est le centre, il est donc normal dans le groupe diédral.
- (CJ'), (r o CJ'), (r
2
o CJ'), (r
3
o CJ'), (r
4
o CJ'), (r
5
o CJ') sont les groupes engendrés par les
réflexions. Ils sont tous conjugués les uns des autres.
Et on épuise ainsi les 7 éléments d'ordre 2.
Il reste des éléments d'ordre 3, comme r
2
et r
4
, qui engendrent le même groupe d'ordre
3, et deux éléments d'ordre 6, r et r
5
qui engendrent le même groupe cyclique d'ordre
6, groupe des rotations de l'hexagone.
Passons aux sous-groupes non monogènes :
- Il y a les groupes à quatre éléments, engendrés par les couples (CJ', r
3
), (r o CJ', r
3
), et
(r
2
o CJ', r
3
) . Ces groupes sont les 2-Sylow du groupe diédral, ils sont isomorphes au
groupe de Klein et sont conjugués.
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
6) Il faut démontrer que N(G) est stable pour les deux opérations. : c'est bien connu pour /\,
car l'intersection de deux sous-groupes normaux dans G est un sous-groupe normal dans
G: cf. l'exercice . En ce qui concerne l'opération V, commençons par rappeler que:
(H,K) =HK
dès que l'un des deux groupes est normal dans G. Si les deux sous-groupes sont normaux
dans G et si l'on considère un élément g de G, on a alors :
et donc H V K = HK est normal dans G.
Terminons en signalant que l'examen du treillis des sous-groupes, même complété par
celui des sous-groupes normaux ne permet pas de distinguer des groupes : deux groupes
peuvent avoir leur treillis de sous-groupes isomorphes sans être isomorphes.
6.5 DES GROUPES D'ORDRE 12
1) Pour chercher les sous-groupes d'un groupe fini, on peut procéder de façon systématique,
en considérant les sous-groupes engendrés par 1 élément, puis 2 éléments .... On peut également utiliser un logiciel de calcul formel spécifique comme GAP.
a) Commençons par le cas bien connu du groupe alterné Ai. Il y a trois éléments d'ordre
2, les trois double-transpositions u = (1, 2)(3, 4), v = (1, 3)(2, 4) et w = (1, 4)(2, 3) qui
engendrent chacune un sous-groupe à deux éléments; deux d'entre elles engendrent un
groupe à quatre éléments, isomorphe au groupe de Klein, qui est le seul 2-Sylow de Ai,
et est donc un sous-groupe normal d'ordre 4. Les autres éléments ( différents du neutre),
sont les huit 3-cycles, qui engendrent au total quatre sous-groupes d'ordre 3. On a déj à
constaté qu'il n'y a pas de sous-groupe à six éléments. Au total : 10 sous-groupes ( y
compris les deux triviaux).
b) Passons au groupe diédral 11)) 12 , engendré par une rotation r d'ordre 6, et par une symétrie CJ'. C'est le groupe des isométries qui conservent un hexagone, par exemple celui
qui joint les points d'affixes les racines sixième de l'unité. Il contient des sous-groupes
à deux éléments :
- (r
3 ); géométriquement, r
3
est -id, la symétrie par rapport au centre de l'hexagone.
Ce groupe est le centre, il est donc normal dans le groupe diédral.
- (CJ'), (r o CJ'), (r
2
o CJ'), (r
3
o CJ'), (r
4
o CJ'), (r
5
o CJ') sont les groupes engendrés par les
réflexions. Ils sont tous conjugués les uns des autres.
Et on épuise ainsi les 7 éléments d'ordre 2.
Il reste des éléments d'ordre 3, comme r
2
et r
4
, qui engendrent le même groupe d'ordre
3, et deux éléments d'ordre 6, r et r
5
qui engendrent le même groupe cyclique d'ordre
6, groupe des rotations de l'hexagone.
Passons aux sous-groupes non monogènes :
- Il y a les groupes à quatre éléments, engendrés par les couples (CJ', r
3
), (r o CJ', r
3
), et
(r
2
o CJ', r
3
) . Ces groupes sont les 2-Sylow du groupe diédral, ils sont isomorphes au
groupe de Klein et sont conjugués.
www.bibliomath.com