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centre (car, pour l'écrire de façon abrégée, [a, b]Z = [aZ, bZ]).
Dans le cas où n = 2, on peut calculer un commutateur :
[
(
� a �
, ) ,
G nJ = ( �
b(a
\
-1)
)
Théorie des groupes
et si le corps a plus de trois éléments, on peut choisir a non nul de sorte que a
2
- 1
soit non nul ; on obtient ainsi qu'une transvection est un commutateur (un même calcul
règle le cas des matrices triangulaires inférieures).
Il reste PSL(2, IF2) et PSL(2, IF3), mais ces groupes sont respectivement égaux à S 3 et
A i qui ne sont pas simples, le problème est donc réglé. On peut remarquer que dans
ces deux cas le groupe dérivé n'est pas égal au groupe tout entier, voir 5.1.8.
c) Commençons par identifier le stabilisateur S de la droite engendrée par le premier
vecteur de base. C'est l'ensemble des (classes de) matrices dont la première colonne
est
1
(a, 0, 0, ... 0) où a est non nul conviendra (si son déterminant est 1). On peut
trouver un représentant de la forme ( � ! ) où M est de déterminant 1 en multipliant
par une homothétie. Il contient notre ensemble de matrices A. De plus :
(1 l ) (1 l' ) (1 l + l' )
0 111 - l
O 111 - l
=
0 /,,_ ,
Ce groupe est normal dans S, on peut faire un calcul direct ou dire que c'est le noyau
du morphisme qui à ( � ! ) associe M dans le groupe spécial linéaire.
Pour montrer que PSL(n, OC) est engendré par les conjugués des éléments de A, il
est préférable de prendre une vision géométrique ; les transvections, qui engendrent le
groupe SL(n, OC) peuvent être géométriquement définies ainsi :
t.,,(x) = x + (x)v
où v est un vecteur non nul, une forme linéaire, dont le noyau est un hyperplan H
contenant le vecteur v. On constate aisément que cette application linéaire admet 1
comme seule valeur propre et H comme sous-espace propre. Les matrices de transvection T ij = I + E ij que nous avons souvent utilisées sont caractérisées par le vecteur
v = e; et la forme linéaire x 1--+ Xj , Les applications linéaires, dont la matrice est dans
A, sont définies par :
x 1--+ x + (t a;x;) e,
1=2
elles représentent toutes les transvections dont le vecteur est e,. Si l'on considère un
élément g quelconque de SL(n, OC), et a un élément de A, alors g o a o g1
est aussi
une transvection :
g o a o g1
(x) = x +(g1
(x))g(e i )
Si l'on veut obtenir une transvection quelconque, il suffit donc de choisir g transformant e 1 en un vecteur de la transvection et, comme parcourt toutes les formes
linéaires annulant e 1 , o g1
parcourt toutes les formes linéaires annulant g(e 1 ). On
termine en disant que le groupe spécial linéaire est engendré par les transvections, et
en passant au quotient. Toutes les hypothèses du critère d'Iwasawa sont satisfaites, le
groupe projectif spécial linéaire est simple, sauf dans les deux cas signalés.
www.bibliomath.com
centre (car, pour l'écrire de façon abrégée, [a, b]Z = [aZ, bZ]).
Dans le cas où n = 2, on peut calculer un commutateur :
[
(
� a �
, ) ,
G nJ = ( �
b(a
\
-1)
)
Théorie des groupes
et si le corps a plus de trois éléments, on peut choisir a non nul de sorte que a
2
- 1
soit non nul ; on obtient ainsi qu'une transvection est un commutateur (un même calcul
règle le cas des matrices triangulaires inférieures).
Il reste PSL(2, IF2) et PSL(2, IF3), mais ces groupes sont respectivement égaux à S 3 et
A i qui ne sont pas simples, le problème est donc réglé. On peut remarquer que dans
ces deux cas le groupe dérivé n'est pas égal au groupe tout entier, voir 5.1.8.
c) Commençons par identifier le stabilisateur S de la droite engendrée par le premier
vecteur de base. C'est l'ensemble des (classes de) matrices dont la première colonne
est
1
(a, 0, 0, ... 0) où a est non nul conviendra (si son déterminant est 1). On peut
trouver un représentant de la forme ( � ! ) où M est de déterminant 1 en multipliant
par une homothétie. Il contient notre ensemble de matrices A. De plus :
(1 l ) (1 l' ) (1 l + l' )
0 111 - l
O 111 - l
=
0 /,,_ ,
Ce groupe est normal dans S, on peut faire un calcul direct ou dire que c'est le noyau
du morphisme qui à ( � ! ) associe M dans le groupe spécial linéaire.
Pour montrer que PSL(n, OC) est engendré par les conjugués des éléments de A, il
est préférable de prendre une vision géométrique ; les transvections, qui engendrent le
groupe SL(n, OC) peuvent être géométriquement définies ainsi :
t.,,
où v est un vecteur non nul, une forme linéaire, dont le noyau est un hyperplan H
contenant le vecteur v. On constate aisément que cette application linéaire admet 1
comme seule valeur propre et H comme sous-espace propre. Les matrices de transvection T ij = I + E ij que nous avons souvent utilisées sont caractérisées par le vecteur
v = e; et la forme linéaire x 1--+ Xj , Les applications linéaires, dont la matrice est dans
A, sont définies par :
x 1--+ x + (t a;x;) e,
1=2
elles représentent toutes les transvections dont le vecteur est e,. Si l'on considère un
élément g quelconque de SL(n, OC), et a un élément de A, alors g o a o g1
est aussi
une transvection :
g o a o g1
(x) = x +
(x))g(e i )
Si l'on veut obtenir une transvection quelconque, il suffit donc de choisir g transformant e 1 en un vecteur de la transvection et, comme parcourt toutes les formes
linéaires annulant e 1 , o g1
parcourt toutes les formes linéaires annulant g(e 1 ). On
termine en disant que le groupe spécial linéaire est engendré par les transvections, et
en passant au quotient. Toutes les hypothèses du critère d'Iwasawa sont satisfaites, le
groupe projectif spécial linéaire est simple, sauf dans les deux cas signalés.
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