Solutions des problèmes
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contenant x sont G x x = {x} et Gx = X, et de même, s'il n'y a que des blocs triviaux, tous
les stabilisateurs sont des sous-groupes maximaux.
6) On se place dans le cas où G agit sur un ensemble ayant au moins deux éléments ... et
même un peu plus car toute action sur un ensemble à deux éléments est primitive. Soient
a et b deux éléments distincts d'un bloc B et g.B un bloc disjoint, contenant deux éléments
distincts a' et b' . Alors, par 2-transitivité, il existe h transformant a en a et b en b', et
h.B n B n'est pas vide sans que h.B soit égal à B.
6.3.3 Simplicité des groupes spéciaux projectifs linéaires
1) - Montrons d'abord que N.x est un bloc. Si gN.x n N.x est non vide, il contient un
élément tel que gn.x = n' .x, où n et n' sont dans N. Mais comme N est normal dans
G, gn peut s'écrire n" g et l'on en déduit g.x E N.x. Mais alors, puisque G est primitif,
on a N.x = {x} auquel cas N est inclus dans le stabilisateur de x, ou bien N.x = X,
qui signifie que G agit transitivement sur X. Mais il est exclu que N c G x , car, par
normalité, on en déduirait N C gG x g - 1 = G g . x · N serait inclus dans l'intersection de
tous les stabilisateurs (l'action est transitive) et serait donc réduit au neutre (l'action
est fidèle). Reste donc ce qui était notre objectif, N agit transitivement.
- N n'est pas inclus dans un stabilisateur, comme nous venons de le voir, donc, par
maximalité de G x , on a bien NG x = G (en observant au passage que N étant normal
dans G, NG x est bien un sous-groupe de G).
- Pour g E G, le groupe gAg1
peut s'écrire nh Ah - 1 n - 1 = nA n - 1 où n EN et h E G x .
On a utilisé la question précédente et l'hypothèse sur A. On en déduit que gAg - 1 c
NA, en utilisant encore la normalité de N dans G. Au vu de l'hypothèse, on a bien
G=NA.
- Le second théorème d'isomorphisme permet d'annoncer que G/N = NA/N est isomorphe à A/ AU N, donc est abélien. On en déduit que N contient le groupe dérivé G'.
Comme G est parfait, il vient N = G. On a donc démontré que G est un groupe simple.
2) a) Étant donnés deux vecteurs non colinéaires, on peut toujours les considérer comme
les deux premiers vecteurs d'une base. Il existe toujours une application linéaire transformant ces deux vecteurs en deux vecteurs non colinéaires, il suffit de les compléter
en une base. Il est donc possible de transformer un couple de droites distinctes en un
couple de droites distinctes. Par ailleurs, on peut multiplier l'image d'un de ces vecteurs par une constante non nulle sans changer ce fait, et donc obtenir une application
linéaire dans le groupe spécial linéaire. Enfin, en passant au quotient on obtient le résultat que le groupe PSL(n, IK) est 2-transitif sur l'espace projectif IP(IK")
1
• De plus,
comme le noyau de l'action du groupe linéaire sur l'ensemble des droites est formé
des homothéties, donc du centre, cette action est fidèle.
b) Le fait que le groupe spécial linéaire soit engendré par les matrices de transvections est
bien connu. C'est la traduction en terme de produit matriciel de l'algorithme du pivot
de Gauss, appliqué à une matrice de déterminant égal à 1, voir par exemple [14]. De
plus, l'exercice 5.3.5 montre que toute transvection est un commutateur, à condition
de disposer de trois indices distincts, donc pour n � 3. On en déduit que le groupe
dérivé de SL(n, IK) est lui-même. On obtient le même résultat quand on divise par le
!. C'est l'ensemble des droites vectorielles.
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contenant x sont G x x = {x} et Gx = X, et de même, s'il n'y a que des blocs triviaux, tous
les stabilisateurs sont des sous-groupes maximaux.
6) On se place dans le cas où G agit sur un ensemble ayant au moins deux éléments ... et
même un peu plus car toute action sur un ensemble à deux éléments est primitive. Soient
a et b deux éléments distincts d'un bloc B et g.B un bloc disjoint, contenant deux éléments
distincts a' et b' . Alors, par 2-transitivité, il existe h transformant a en a et b en b', et
h.B n B n'est pas vide sans que h.B soit égal à B.
6.3.3 Simplicité des groupes spéciaux projectifs linéaires
1) - Montrons d'abord que N.x est un bloc. Si gN.x n N.x est non vide, il contient un
élément tel que gn.x = n' .x, où n et n' sont dans N. Mais comme N est normal dans
G, gn peut s'écrire n" g et l'on en déduit g.x E N.x. Mais alors, puisque G est primitif,
on a N.x = {x} auquel cas N est inclus dans le stabilisateur de x, ou bien N.x = X,
qui signifie que G agit transitivement sur X. Mais il est exclu que N c G x , car, par
normalité, on en déduirait N C gG x g - 1 = G g . x · N serait inclus dans l'intersection de
tous les stabilisateurs (l'action est transitive) et serait donc réduit au neutre (l'action
est fidèle). Reste donc ce qui était notre objectif, N agit transitivement.
- N n'est pas inclus dans un stabilisateur, comme nous venons de le voir, donc, par
maximalité de G x , on a bien NG x = G (en observant au passage que N étant normal
dans G, NG x est bien un sous-groupe de G).
- Pour g E G, le groupe gAg1
peut s'écrire nh Ah - 1 n - 1 = nA n - 1 où n EN et h E G x .
On a utilisé la question précédente et l'hypothèse sur A. On en déduit que gAg - 1 c
NA, en utilisant encore la normalité de N dans G. Au vu de l'hypothèse, on a bien
G=NA.
- Le second théorème d'isomorphisme permet d'annoncer que G/N = NA/N est isomorphe à A/ AU N, donc est abélien. On en déduit que N contient le groupe dérivé G'.
Comme G est parfait, il vient N = G. On a donc démontré que G est un groupe simple.
2) a) Étant donnés deux vecteurs non colinéaires, on peut toujours les considérer comme
les deux premiers vecteurs d'une base. Il existe toujours une application linéaire transformant ces deux vecteurs en deux vecteurs non colinéaires, il suffit de les compléter
en une base. Il est donc possible de transformer un couple de droites distinctes en un
couple de droites distinctes. Par ailleurs, on peut multiplier l'image d'un de ces vecteurs par une constante non nulle sans changer ce fait, et donc obtenir une application
linéaire dans le groupe spécial linéaire. Enfin, en passant au quotient on obtient le résultat que le groupe PSL(n, IK) est 2-transitif sur l'espace projectif IP(IK")
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• De plus,
comme le noyau de l'action du groupe linéaire sur l'ensemble des droites est formé
des homothéties, donc du centre, cette action est fidèle.
b) Le fait que le groupe spécial linéaire soit engendré par les matrices de transvections est
bien connu. C'est la traduction en terme de produit matriciel de l'algorithme du pivot
de Gauss, appliqué à une matrice de déterminant égal à 1, voir par exemple [14]. De
plus, l'exercice 5.3.5 montre que toute transvection est un commutateur, à condition
de disposer de trois indices distincts, donc pour n � 3. On en déduit que le groupe
dérivé de SL(n, IK) est lui-même. On obtient le même résultat quand on divise par le
!. C'est l'ensemble des droites vectorielles.
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