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Théorie des groupes
2) Soi t H un sous-groupe de Ss , d'i ndic e f. Alors Ss agit sur le quotie nt Ss /H par translation. Le noyau de cette action est un sous-groupe normal. Si c'est le groupe alterné, H est
d'i ndice 2 et c'est le groupe alterné; si c'est l'i denti té, S 5 s'i dentifie à un sous-groupe du
groupe symétriq ue Se , et donc f � 5, ce qui limite le cardin al à 24. Mai s un sous-groupe
transi tif a un cardin al divisible par 5, s'i l est non tri vial restent possi bles les cardinaux 5,
10 ou 20.
3) On connaît les sous-groupes de 5 éléments; ce sont les conjugués du groupe cyclique
((1 , 2, 3, 4, 5)), et il s sont bien sûr transitifs. Un groupe ayant 10 ou 20 éléments admettra donc un 5-Sylow de ce type, et il sera transitif. Comme le 5-Sylow est unique
d'après les théorèmes de Sylow, ces groupes seront des sous-groupes du normalis ateur. L'étude de ce normalis ateur montre que l'on aura donc un groupe a 20 éléments,
((1 , 2, 3, 4, 5), (1 ,3,4, 2)), et un groupe a 10 éléments, ((1 , 2, 3,4, 5), (1 ,4)(2, 3)), à conjugaison près.
L'étude des groupes transi tifs devi ent plus diffi cile pour n = 6, il y a alors quatorze types
de groupes pri mitifs.
6.3.2 Blocs
1) Si B est un bloc, il est non vide et contient un élément x. Comme le groupe est transitif, tout
élément de X est de la forme g.x et est donc dans g.B. On en déduit que les g.B recouvrent
G. De plus, il s sont disjoints, car si g.B et g' .B ont un élément commun g.x = g' .y, on a
x = (g1
g').y ce qui prouve, par définition de B, que B = (g1
g').B et donc g.B = g' .B. Ce
même argument montre que les g .B sont des blocs, on a un système de blocs, ensemble
sur lequel agi t G. Dans le cas fini , le cardin al de f!. est un diviseur du cardin al de X.
2) Il y a bien sûr les singletons, ainsi que le groupe tout entier. Nous les appellerons « blocs
tri viaux ». Mai s dans le cas du carré, il y a également les blocs formés de deux points
diagonalement opposés ; cela traduit le fait géométriq ue que les is ométrie s conservent les
diagonales. Les ensembles formés de deux sommets consécutif s ne sont pas des blocs. On
retrouve des blocs diagonaux dans le cas du groupe octaédral.
3) Soi t en effet un tel groupe H, et B = H.x. Alors, si g.B et B ont un élément commun, on a
une égalité de la forme gh.x = h' .x où h et h' sont dans H. Mai s alors h'1
gh E G x c H,
donc g est dans H et g.B = B, B est un bloc. Réci proquement, si B est un bloc sous l'actio n
de G, et x dans B, on définit H par :
g E H -<==} g.x E B
C'est visiblement un sous-groupe de G, contenant le stabilisateur de x, et B peut s'écrir e
B = H.x (on uti lise la transi tivité).
4) Soit O' = ( 1, 2, ... , n ). Cherchons les blocs contenant 1. D'après la question précédente, il s
sont de la forme H. l, où H contie nt le stabilisateur de 1 qui est ic i l'i denti té. Si d est un
diviseur de n, il lui correspond un seul sous-groupe de (O') , et le bloc 1, 1 + d, 1 + 2d qui a
� éléments. Ainsi , pour n = 6, on a les blocs :
{ 1 } , { 1,2,3,4,5,6} , { 1,3 , 6} , { 1,4}
et par exemple, les deux blocs à trois éléments se dessinent comme les deux tri angles
équi latéraux in scrits dans un hexagone régulier.
5) Rappelons pour commencer que tous les stabilisateurs sont conjugués, puisque l'actio n est
transitive. Si G x est maxi mal, la constructio n des blocs faite ci-dessus prouve que les blocs
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Théorie des groupes
2) Soi t H un sous-groupe de Ss , d'i ndic e f. Alors Ss agit sur le quotie nt Ss /H par translation. Le noyau de cette action est un sous-groupe normal. Si c'est le groupe alterné, H est
d'i ndice 2 et c'est le groupe alterné; si c'est l'i denti té, S 5 s'i dentifie à un sous-groupe du
groupe symétriq ue Se , et donc f � 5, ce qui limite le cardin al à 24. Mai s un sous-groupe
transi tif a un cardin al divisible par 5, s'i l est non tri vial restent possi bles les cardinaux 5,
10 ou 20.
3) On connaît les sous-groupes de 5 éléments; ce sont les conjugués du groupe cyclique
((1 , 2, 3, 4, 5)), et il s sont bien sûr transitifs. Un groupe ayant 10 ou 20 éléments admettra donc un 5-Sylow de ce type, et il sera transitif. Comme le 5-Sylow est unique
d'après les théorèmes de Sylow, ces groupes seront des sous-groupes du normalis ateur. L'étude de ce normalis ateur montre que l'on aura donc un groupe a 20 éléments,
((1 , 2, 3, 4, 5), (1 ,3,4, 2)), et un groupe a 10 éléments, ((1 , 2, 3,4, 5), (1 ,4)(2, 3)), à conjugaison près.
L'étude des groupes transi tifs devi ent plus diffi cile pour n = 6, il y a alors quatorze types
de groupes pri mitifs.
6.3.2 Blocs
1) Si B est un bloc, il est non vide et contient un élément x. Comme le groupe est transitif, tout
élément de X est de la forme g.x et est donc dans g.B. On en déduit que les g.B recouvrent
G. De plus, il s sont disjoints, car si g.B et g' .B ont un élément commun g.x = g' .y, on a
x = (g1
g').y ce qui prouve, par définition de B, que B = (g1
g').B et donc g.B = g' .B. Ce
même argument montre que les g .B sont des blocs, on a un système de blocs, ensemble
sur lequel agi t G. Dans le cas fini , le cardin al de f!. est un diviseur du cardin al de X.
2) Il y a bien sûr les singletons, ainsi que le groupe tout entier. Nous les appellerons « blocs
tri viaux ». Mai s dans le cas du carré, il y a également les blocs formés de deux points
diagonalement opposés ; cela traduit le fait géométriq ue que les is ométrie s conservent les
diagonales. Les ensembles formés de deux sommets consécutif s ne sont pas des blocs. On
retrouve des blocs diagonaux dans le cas du groupe octaédral.
3) Soi t en effet un tel groupe H, et B = H.x. Alors, si g.B et B ont un élément commun, on a
une égalité de la forme gh.x = h' .x où h et h' sont dans H. Mai s alors h'1
gh E G x c H,
donc g est dans H et g.B = B, B est un bloc. Réci proquement, si B est un bloc sous l'actio n
de G, et x dans B, on définit H par :
g E H -<==} g.x E B
C'est visiblement un sous-groupe de G, contenant le stabilisateur de x, et B peut s'écrir e
B = H.x (on uti lise la transi tivité).
4) Soit O' = ( 1, 2, ... , n ). Cherchons les blocs contenant 1. D'après la question précédente, il s
sont de la forme H. l, où H contie nt le stabilisateur de 1 qui est ic i l'i denti té. Si d est un
diviseur de n, il lui correspond un seul sous-groupe de (O') , et le bloc 1, 1 + d, 1 + 2d qui a
� éléments. Ainsi , pour n = 6, on a les blocs :
{ 1 } , { 1,2,3,4,5,6} , { 1,3 , 6} , { 1,4}
et par exemple, les deux blocs à trois éléments se dessinent comme les deux tri angles
équi latéraux in scrits dans un hexagone régulier.
5) Rappelons pour commencer que tous les stabilisateurs sont conjugués, puisque l'actio n est
transitive. Si G x est maxi mal, la constructio n des blocs faite ci-dessus prouve que les blocs
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