Solutions des problèmes
a= b- 1
a - 1 b
2
et b = a P - 1 b- 1
a - 1 , on trouve:
z = a P =
ba P b- 1
= b( b- ' a- 1 b
2
)Pb - 1
=
(a- 1 b)P
=
a P - 2 b- 1
a - 1
=
(a P - 3 b- l )P
car z commute à b
en développant
seconde relation
on développe
203
On utilise aussi dans ce calcul que z commute à a. Si p = 3, on a fini z = b3
= b
3
donc
z
2
= 1. Sip = 4, on continue:
z = (ab - 1 )
4
= a(b - 1
a )
4
a - 1 = ( b - 1
a )
4
= (a - 1 b ) - 4
= z - 1
Pour p = 5, c'est du même style mais un peu plus long:
z = ( a
2
b- ') 5
= (( b- 1
a - 1 b
2 )
2
b- 1 ) 5
= ( b - 1
a - 1 ba- 1 b ) 5 = (a- 1 ba- 1 ) 5
= ( b a - 2 ) 5
= (a
z
b - ' ) - 5
= z - '
6.3 TRANSITIVITÉ, BLOCS, GROUPES PRI MITIFS
6.3.1 Groupes transitifs
1) Il n'y a comme autres sous-groupes que les conjugués de (1 , 2), qui n'est pas transitif, car
il fixe 3.
2) Dire que G est transitif, c'est dire que l'ensemble des entiers { l, 2, ... , n} sur lequel il
agit ne contient qu'une seule orbite. Si G 1 est le stabilisateur de 1, on a donc :
[G: G i ] = n
et G est de cardinal multiple de n.
3) Il est immédiat que les groupes indiqués sont transitifs, et il reste à montrer qu'il n'y en a
pas d'autre; comme le cardinal d'un groupe transitif doit être un multiple de 4, les seules
possibilités sont 4, 8 et 12. Le seul sous-groupe d'ordre 12 est le groupe alterné, un sousgroupe d'ordre 8 est un 2-Sylow, ils sont tous conjugués à celui que nous avons donné,
et il est clair (en utilisant l'automorphisme intérieur) qu'un conjugué d'un groupe transitif
est transitif. Reste le cas des groupes d'ordre 4 qui ne peuvent contenir que des éléments
d'ordre 2 ou 4. On a tous les groupes du type ((l,2,3 ,4)) et le groupe V, les seul autres
groupes possibles du type ((l , 2) , (3, 4)) ne sont pas transitifs (1 a pour image 1 ou 2).
Cas n = 5:
1) Cherchons une permutation qui normalise le groupe engendré par c = (1 , 2, 3, 4, 5).
Cela signifie oc o <1>1
= c" où k est un entier entre 1 et 5. Autrement dit, (l) = pe t
(i+ 1) = (i)+k soit Ci)= p+(i- l)k en travaillant modulo 5. Cette formule montre que le
normalisateur cherché est le groupe affine de l'anneau Z/5. Plus simplement, il est engendré par c et les permutations u k : i f--+ ki (mod 5) ; ces permutations sont dans notre cas :
id, (1 , 2, 4, 3) (multiplication par 2) , (1 , 3, 4, 2) (par 3) , (l, 4)(2, 3) (par 4)
et forment un groupe isomorphe à Z/4, et au groupe des inversibles du corps Z/5. Le normalisateur est donc isomorphe au produit semi-direct de Z/5 par Z/4, il a vingt éléments
et a été rencontré dans le problème sur les produits semi-directs en géométrie.
www.bibliomath.com
a= b- 1
a - 1 b
2
et b = a P - 1 b- 1
a - 1 , on trouve:
z = a P =
ba P b- 1
= b( b- ' a- 1 b
2
)Pb - 1
=
(a- 1 b)P
=
a P - 2 b- 1
a - 1
=
(a P - 3 b- l )P
car z commute à b
en développant
seconde relation
on développe
203
On utilise aussi dans ce calcul que z commute à a. Si p = 3, on a fini z = b3
= b
3
donc
z
2
= 1. Sip = 4, on continue:
z = (ab - 1 )
4
= a(b - 1
a )
4
a - 1 = ( b - 1
a )
4
= (a - 1 b ) - 4
= z - 1
Pour p = 5, c'est du même style mais un peu plus long:
z = ( a
2
b- ') 5
= (( b- 1
a - 1 b
2 )
2
b- 1 ) 5
= ( b - 1
a - 1 ba- 1 b ) 5 = (a- 1 ba- 1 ) 5
= ( b a - 2 ) 5
= (a
z
b - ' ) - 5
= z - '
6.3 TRANSITIVITÉ, BLOCS, GROUPES PRI MITIFS
6.3.1 Groupes transitifs
1) Il n'y a comme autres sous-groupes que les conjugués de (1 , 2), qui n'est pas transitif, car
il fixe 3.
2) Dire que G est transitif, c'est dire que l'ensemble des entiers { l, 2, ... , n} sur lequel il
agit ne contient qu'une seule orbite. Si G 1 est le stabilisateur de 1, on a donc :
[G: G i ] = n
et G est de cardinal multiple de n.
3) Il est immédiat que les groupes indiqués sont transitifs, et il reste à montrer qu'il n'y en a
pas d'autre; comme le cardinal d'un groupe transitif doit être un multiple de 4, les seules
possibilités sont 4, 8 et 12. Le seul sous-groupe d'ordre 12 est le groupe alterné, un sousgroupe d'ordre 8 est un 2-Sylow, ils sont tous conjugués à celui que nous avons donné,
et il est clair (en utilisant l'automorphisme intérieur) qu'un conjugué d'un groupe transitif
est transitif. Reste le cas des groupes d'ordre 4 qui ne peuvent contenir que des éléments
d'ordre 2 ou 4. On a tous les groupes du type ((l,2,3 ,4)) et le groupe V, les seul autres
groupes possibles du type ((l , 2) , (3, 4)) ne sont pas transitifs (1 a pour image 1 ou 2).
Cas n = 5:
1) Cherchons une permutation qui normalise le groupe engendré par c = (1 , 2, 3, 4, 5).
Cela signifie oc o <1>1
= c" où k est un entier entre 1 et 5. Autrement dit, (l) = pe t
(i+ 1) = (i)+k soit Ci)= p+(i- l)k en travaillant modulo 5. Cette formule montre que le
normalisateur cherché est le groupe affine de l'anneau Z/5. Plus simplement, il est engendré par c et les permutations u k : i f--+ ki (mod 5) ; ces permutations sont dans notre cas :
id, (1 , 2, 4, 3) (multiplication par 2) , (1 , 3, 4, 2) (par 3) , (l, 4)(2, 3) (par 4)
et forment un groupe isomorphe à Z/4, et au groupe des inversibles du corps Z/5. Le normalisateur est donc isomorphe au produit semi-direct de Z/5 par Z/4, il a vingt éléments
et a été rencontré dans le problème sur les produits semi-directs en géométrie.
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