202
Th éorie des groupes
(cela concerne les groupes des questions précédentes) ou enfin en géométrie hyperbolique.
Seul le cas sphérique produit des groupes finis.
6.2.5 Groupes binaires polyédraux
1) D'après le théorème de Lagrange, si q est dans un groupe fini d'ordre n, q" = 1, ce qui
prouve que la norme de q est 1, donc que q est unitaire. Le groupe G est donc un sousgroupe du groupe H des quaternions unitaires. Or, on sait qu'il existe un morphisme surjectif de H sur le groupe S0(3, R). Par ce morphime, l'image de ce groupe G est donc
un sous-groupe fini de S0(3, R). Comme le noyau du morphisme est ±1, il y a deux cas.
Si G ne contient pas -1 il est isomorphe à (G), sinon G / ± 1 est isomorphe à {G).
2) Dans le cas où G ne contient pas -1, il ne contient pas de quaternion unitaire pur ( dont
le carré est -1), et donc (G) ne contient pas de demi-tour : cela élimine presque tous les
sous-groupes de S0(3, R), sauf les groupes cycliques d'ordre impair. G est alors cyclique,
par exemple engendré par le quaternion cos {2;) + i sin {2;) (qui est un complexe ... ).
3) Supposons que (G) = (p, q, r). Alors, si G contient -1, il sera formé de deux fois plus
d'éléments que (G). Si (G) est engendré par les rotations a, b et c, G contiendra les
quaternions A, B et C, où A = cos � + u sin � , avec u quaternion unitaire pur dirigeant l'axe
de la rotation a, de même pour B et C. Puisque :
ces quaternions suffisent à engendrer G. On vérifie que ABC = -1 et G admet la présentation :
G = (A ,B, C I A P =B q = C , . =ABC = Z, z
i
= -1)
Il n'y a pas d'autre relation (indépendante), sinon on aurait aussi une autre relation pour
(G).
4) Le groupe (p, p, 1) s'écrit donc :
(p,p,l) = (A ,B,CI A P =B P =C=ABC, c
i
=l)
= (A , C I A P = C, c
i
= 1)
= (A I A i P = 1)
la première simplification provenant de ce que B et A sont alors inverses l'un de l'autre. On
trouve donc un groupe cyclique d'ordre pair (dont un modèle est tout simplement (eW).
Au vu de la question 2, il y a donc tous les groupes cycliques.
Le groupe (2, 2, r) s'écrit :
(2, 2, r) = (A,B,CI A i =B
i
=cr=ABC, c
i
= 1)
= (B, C I B
i
=C , .=(BC)
2
,c
i
=l)
= (B, C I B
i
= cr, B
i r = 1, BCB1
= B- 1 )
on reconnaît bien la présentation du groupe dicyclique d'ordre 4r.
5) Il s'agit donc de montrer que si a P = b
3
= c
i
= abc = z, alors (abc)
2
= 1. Cela a déjà été
fait dans l'exercice 2.2. 14, et résulte d'un calcul un peu ... sordide. En utilisant les relations
www.bibliomath.com
Th éorie des groupes
(cela concerne les groupes des questions précédentes) ou enfin en géométrie hyperbolique.
Seul le cas sphérique produit des groupes finis.
6.2.5 Groupes binaires polyédraux
1) D'après le théorème de Lagrange, si q est dans un groupe fini d'ordre n, q" = 1, ce qui
prouve que la norme de q est 1, donc que q est unitaire. Le groupe G est donc un sousgroupe du groupe H des quaternions unitaires. Or, on sait qu'il existe un morphisme surjectif de H sur le groupe S0(3, R). Par ce morphime, l'image de ce groupe G est donc
un sous-groupe fini de S0(3, R). Comme le noyau du morphisme est ±1, il y a deux cas.
Si G ne contient pas -1 il est isomorphe à (G), sinon G / ± 1 est isomorphe à {G).
2) Dans le cas où G ne contient pas -1, il ne contient pas de quaternion unitaire pur ( dont
le carré est -1), et donc (G) ne contient pas de demi-tour : cela élimine presque tous les
sous-groupes de S0(3, R), sauf les groupes cycliques d'ordre impair. G est alors cyclique,
par exemple engendré par le quaternion cos {2;) + i sin {2;) (qui est un complexe ... ).
3) Supposons que (G) = (p, q, r). Alors, si G contient -1, il sera formé de deux fois plus
d'éléments que (G). Si (G) est engendré par les rotations a, b et c, G contiendra les
quaternions A, B et C, où A = cos � + u sin � , avec u quaternion unitaire pur dirigeant l'axe
de la rotation a, de même pour B et C. Puisque :
ces quaternions suffisent à engendrer G. On vérifie que ABC = -1 et G admet la présentation :
G = (A ,B, C I A P =B q = C , . =ABC = Z, z
i
= -1)
Il n'y a pas d'autre relation (indépendante), sinon on aurait aussi une autre relation pour
(G).
4) Le groupe (p, p, 1) s'écrit donc :
(p,p,l) = (A ,B,CI A P =B P =C=ABC, c
i
=l)
= (A , C I A P = C, c
i
= 1)
= (A I A i P = 1)
la première simplification provenant de ce que B et A sont alors inverses l'un de l'autre. On
trouve donc un groupe cyclique d'ordre pair (dont un modèle est tout simplement (eW).
Au vu de la question 2, il y a donc tous les groupes cycliques.
Le groupe (2, 2, r) s'écrit :
(2, 2, r) = (A,B,CI A i =B
i
=cr=ABC, c
i
= 1)
= (B, C I B
i
=C , .=(BC)
2
,c
i
=l)
= (B, C I B
i
= cr, B
i r = 1, BCB1
= B- 1 )
on reconnaît bien la présentation du groupe dicyclique d'ordre 4r.
5) Il s'agit donc de montrer que si a P = b
3
= c
i
= abc = z, alors (abc)
2
= 1. Cela a déjà été
fait dans l'exercice 2.2. 14, et résulte d'un calcul un peu ... sordide. En utilisant les relations
www.bibliomath.com