Solutions des problèmes
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réflexion rotatoire), c'est un sous-groupe d'indice 2 de G. Sinon, G ne contient que des
rotations et c'est un des groupes étudiés ci-dessus.
2) Pour un groupe cyclique, on peut prendre un polygone régulier et placer des flèches sur
les côtés, ce qui empêchera les réflexions. Pour le groupe diédral, on peut utiliser des
antiprismes. Vo ir le cas d'un antiprisme hexagonal, dont le groupe des isométries est le
groupe diédral ]IJ)12, figure 6.7, à condition d'ajouter des flèches qui orientent les côtés des
deux hexagones en sens contraire. On peut traiter de la même façon les autres groupes.
Figure 6.7 Antiprisme
3) Dire que G contient -id, c'est dire que la suite exacte
id-G + �G�{+l, -1}-1
est scindée, avec de plus un relèvement { id, -id} normal, puisque -id commute avec tout.
On a donc un produit direct G '?:! G + x Z/2. Dans le cas où G + est cyclique, on obtient un
groupe dont les éléments sont de la forme ±r", où r est une rotation génératrice, -r" est
alors une réflexion rotatoire. Il y a une réflexion si n est pair. Si G est diédral, on trouve les
mêmes ±r", des demi tours, mais aussi les opposés des demi-tours, qui sont des réflexions
hyperplanes de plans contenant l'axe de r. On pourra de même étudier les autres groupes.
4) Le groupe r = (G, -id) contient -id, il est donc du type précédent, et de la forme H x
{ +id , -id} où H est un sous-groupe fini de S0(3). Mais alors r est la réunion de quatre
ensembles de même cardinal :
G + , -G- , G- , -G +
où G- = G \ G
+
. Les deux premiers de ces ensembles sont formés d'isométries directes,
c'est donc H. On en déduit que G
+
est un sous-groupe d'indice deux de H. Notons Ho ce
sous-groupe et H 1 son complémentaire; alors r est la réunion des quatre ensembles:
Ho, Hi , -Ho, -H,
puisque G ne contient pas -id, c'est que G = Ho U -H 1 • Réciproquement, si H est un
sous-groupe d'isométries directes et Ho un sous-groupe d'indice deux, de complémentaire
H 1 , alors G = Ho U -H 1 est un groupe; il est d'ailleurs isomorphe à H, l'application
(r) = r si r E Ho et (r') = -id o r' = -r' si r E H 1 est un isomorphisme de groupe.
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réflexion rotatoire), c'est un sous-groupe d'indice 2 de G. Sinon, G ne contient que des
rotations et c'est un des groupes étudiés ci-dessus.
2) Pour un groupe cyclique, on peut prendre un polygone régulier et placer des flèches sur
les côtés, ce qui empêchera les réflexions. Pour le groupe diédral, on peut utiliser des
antiprismes. Vo ir le cas d'un antiprisme hexagonal, dont le groupe des isométries est le
groupe diédral ]IJ)12, figure 6.7, à condition d'ajouter des flèches qui orientent les côtés des
deux hexagones en sens contraire. On peut traiter de la même façon les autres groupes.
Figure 6.7 Antiprisme
3) Dire que G contient -id, c'est dire que la suite exacte
id-G + �G�{+l, -1}-1
est scindée, avec de plus un relèvement { id, -id} normal, puisque -id commute avec tout.
On a donc un produit direct G '?:! G + x Z/2. Dans le cas où G + est cyclique, on obtient un
groupe dont les éléments sont de la forme ±r", où r est une rotation génératrice, -r" est
alors une réflexion rotatoire. Il y a une réflexion si n est pair. Si G est diédral, on trouve les
mêmes ±r", des demi tours, mais aussi les opposés des demi-tours, qui sont des réflexions
hyperplanes de plans contenant l'axe de r. On pourra de même étudier les autres groupes.
4) Le groupe r = (G, -id) contient -id, il est donc du type précédent, et de la forme H x
{ +id , -id} où H est un sous-groupe fini de S0(3). Mais alors r est la réunion de quatre
ensembles de même cardinal :
G + , -G- , G- , -G +
où G- = G \ G
+
. Les deux premiers de ces ensembles sont formés d'isométries directes,
c'est donc H. On en déduit que G
+
est un sous-groupe d'indice deux de H. Notons Ho ce
sous-groupe et H 1 son complémentaire; alors r est la réunion des quatre ensembles:
Ho, Hi , -Ho, -H,
puisque G ne contient pas -id, c'est que G = Ho U -H 1 • Réciproquement, si H est un
sous-groupe d'isométries directes et Ho un sous-groupe d'indice deux, de complémentaire
H 1 , alors G = Ho U -H 1 est un groupe; il est d'ailleurs isomorphe à H, l'application
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