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Théorie des groupes
Pour aller plus loin dans la description, il faut chercher ceux, parmi les groupes finis de
rotations, qui ont un sous-groupe d'indice deux. Ce sont :
- le groupe cyclique d'ordre pair 2n, engendré par la rotation r d'angle �� . On obtient
alors un groupe mixte G contenant le groupe des rotations engendré par r
2
, et les
réflexions rotatoires -id o r
2k+ I
de même axe. Ce groupe est effectivement cyclique
d'ordre n, engendré par la réflexion rotatoire -r;
- le groupe diédral d'ordre 2n, et son sous-groupe cyclique d'ordre n. On obtient un
groupe G contenant les rotations et les opposés des demi-tours qui sont des réflexions.
C'est le groupe diédral du plan,« prolongé» par l'identité dans la direction orthogonale
au plan. C'est le groupe des isométries qui conservent une pyramide régulière à base
polygonale ;
- le groupe diédral d'ordre 2n où n est pair. Il a pour sous-groupe le groupe diédral d'ordre
n ; on ajoute à ce sous-groupe les opposés des demi-tours qui sont des réflexions, et les
opposés des rotations qui sont des réflexions rotatoires ;
- le groupe octaédral qui, isomorphe à S 4 , a un seul sous-groupe d'indice deux ; ce sousgroupe est formé des rotations qui correspondent aux permutations paires des diagonales. Il y a les trois demi-tours d'axes joignant les centres des faces opposées, les huit
rotations d'ordre trois autour des diagonales, et l'identité. Le groupe mixte G contient
alors ces rotations et les opposés des autres, c'est-à-dire les opposés des six rotations
d'ordre quatre qui sont des réflexions rotatoires, les six opposés des demi-tours joignant les centres d'arêtes parallèles opposées qui sont des réflexions de plans contenant
également des arêtes parallèles opposées.
Le groupe tétraédral T (isomorphe à Ai) ne contient pas de sous-groupe d'indice 2, c'est
le cas également du groupe icosaédral qui n'a pas de sous-groupe d'ordre 30
1
• Notre description achève donc la description des sous-groupes finis d'isométries de l'espace.
5) Les groupes d'isométrie complets du cube et de l'icosaèdre sont les produits O x {±id}
et I x { ±id} car -id fait partie de ces groupes. En revanche, un tétraèdre régulier n'a pas
de centre de symétrie, et son groupe complet d'isométrie est donc mixte ; c'est le dernier
groupe décrit dans la question précédente, comme on le voit quand on inscrit un tétraèdre
dans un cube. Il est isomorphe à S 4 comme le groupe octaédral.
Une remarque pour conclure. Les groupes que nous avons décrits ne sont pas uniques ... Il
suffit de changer la position et la taille du tétraèdre pour avoir un autre groupe tétraédral,
mais tous les groupes tétraédraux sont conjugués par une isométrie.
6.2.4 Groupes polyédraux
1)
2)
(p, q, r) = (a, b I a!' = b q =(ab)'"= l)
en utilisant que c1
= ab est d'ordre r.
(p, p, 1) = (a, b I a P = !JP = ab= 1) = (a I a P = 1) = Z/p
1. Car il est simple, puisqu'il est isomorphe à A 5 , et n'a donc pas de sous-groupe d'indice deux qui serait
normal.
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
Pour aller plus loin dans la description, il faut chercher ceux, parmi les groupes finis de
rotations, qui ont un sous-groupe d'indice deux. Ce sont :
- le groupe cyclique d'ordre pair 2n, engendré par la rotation r d'angle �� . On obtient
alors un groupe mixte G contenant le groupe des rotations engendré par r
2
, et les
réflexions rotatoires -id o r
2k+ I
de même axe. Ce groupe est effectivement cyclique
d'ordre n, engendré par la réflexion rotatoire -r;
- le groupe diédral d'ordre 2n, et son sous-groupe cyclique d'ordre n. On obtient un
groupe G contenant les rotations et les opposés des demi-tours qui sont des réflexions.
C'est le groupe diédral du plan,« prolongé» par l'identité dans la direction orthogonale
au plan. C'est le groupe des isométries qui conservent une pyramide régulière à base
polygonale ;
- le groupe diédral d'ordre 2n où n est pair. Il a pour sous-groupe le groupe diédral d'ordre
n ; on ajoute à ce sous-groupe les opposés des demi-tours qui sont des réflexions, et les
opposés des rotations qui sont des réflexions rotatoires ;
- le groupe octaédral qui, isomorphe à S 4 , a un seul sous-groupe d'indice deux ; ce sousgroupe est formé des rotations qui correspondent aux permutations paires des diagonales. Il y a les trois demi-tours d'axes joignant les centres des faces opposées, les huit
rotations d'ordre trois autour des diagonales, et l'identité. Le groupe mixte G contient
alors ces rotations et les opposés des autres, c'est-à-dire les opposés des six rotations
d'ordre quatre qui sont des réflexions rotatoires, les six opposés des demi-tours joignant les centres d'arêtes parallèles opposées qui sont des réflexions de plans contenant
également des arêtes parallèles opposées.
Le groupe tétraédral T (isomorphe à Ai) ne contient pas de sous-groupe d'indice 2, c'est
le cas également du groupe icosaédral qui n'a pas de sous-groupe d'ordre 30
1
• Notre description achève donc la description des sous-groupes finis d'isométries de l'espace.
5) Les groupes d'isométrie complets du cube et de l'icosaèdre sont les produits O x {±id}
et I x { ±id} car -id fait partie de ces groupes. En revanche, un tétraèdre régulier n'a pas
de centre de symétrie, et son groupe complet d'isométrie est donc mixte ; c'est le dernier
groupe décrit dans la question précédente, comme on le voit quand on inscrit un tétraèdre
dans un cube. Il est isomorphe à S 4 comme le groupe octaédral.
Une remarque pour conclure. Les groupes que nous avons décrits ne sont pas uniques ... Il
suffit de changer la position et la taille du tétraèdre pour avoir un autre groupe tétraédral,
mais tous les groupes tétraédraux sont conjugués par une isométrie.
6.2.4 Groupes polyédraux
1)
2)
(p, q, r) = (a, b I a!' = b q =(ab)'"= l)
en utilisant que c1
= ab est d'ordre r.
(p, p, 1) = (a, b I a P = !JP = ab= 1) = (a I a P = 1) = Z/p
1. Car il est simple, puisqu'il est isomorphe à A 5 , et n'a donc pas de sous-groupe d'indice deux qui serait
normal.
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