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Théorie des groupes
Dans le dernier cas, contentons-nous d'un examen rapide
1
• Il y a une orbite ayant trente
points, pôles de quinze rotations d'ordre deux, une orbite ayant vingt points, pôles de vingt
rotations d'ordre trois, enfin une orbite ayant douze points, pôles de vingt-quatre rotations
d'ordre cinq. Intéressons-nous à cette orbite. Une rotation d'ordre cinq ayant pour axe le
segment joignant deux points laisse stables les dix autres. On peut éliminer le cas où ces
dix points sont coplanaires ; ils forment donc deux pentagones réguliers dans des plans
parallèles à l'axe de notre rotation. En utilisant le fait que ces points sont opposés deux à
deux, on vérifie que la figure obtenue est un icosaèdre régulier. L'orbite à vingt points est
constituée par les sommets d'un dodécaèdre régulier, homothétique de celui qui joint les
centres des faces de l'icosaèdre (fig. 6.6).
Figure 6.6 Dodécaèdre
Le groupe G est nommé groupe icosaédral. On peut montrer qu'il est isomorphe à A 5 ,
voici une indication sur une méthode « géométrique » ; dans un dodécaèdre, il y a cinq
cubes inscrits, dont les arêtes sont des diagonales des faces (qui sont des pentagones), et
chaque sommet du dodécaèdre est sommet de deux des cubes, ces deux cubes ayant alors
une diagonale en commun. On peut alors voir (si l'on voit bien ... ) que:
- les rotations d'ordre deux conservent un cube et permutent les autres par paires, formant
quinze doubles transpositions des cinq cubes ;
- les rotations d'ordre trois laissent fixes deux cubes (ceux qui ont pour diagonale commune l'axe de la rotation) et permutent les trois autres cycliquement, formant vingt
3-cycles;
- les rotations d'ordre cinq permutent les cinq cubes circulairement, formant vingt-quatre
5-cycles.
6.2.3 Sous-groupes finis de 0(3)
1) G
+
est le noyau du morphisme déterminant, c'est un sous-groupe normal de G. Si le morphisme est surjectif, c'est-à-dire s'il existe au moins une isométrie négative (réflexion ou
1. On pourra consulter avec profit un bon livre de géométrie, comme (15), (8), (27).
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
Dans le dernier cas, contentons-nous d'un examen rapide
1
• Il y a une orbite ayant trente
points, pôles de quinze rotations d'ordre deux, une orbite ayant vingt points, pôles de vingt
rotations d'ordre trois, enfin une orbite ayant douze points, pôles de vingt-quatre rotations
d'ordre cinq. Intéressons-nous à cette orbite. Une rotation d'ordre cinq ayant pour axe le
segment joignant deux points laisse stables les dix autres. On peut éliminer le cas où ces
dix points sont coplanaires ; ils forment donc deux pentagones réguliers dans des plans
parallèles à l'axe de notre rotation. En utilisant le fait que ces points sont opposés deux à
deux, on vérifie que la figure obtenue est un icosaèdre régulier. L'orbite à vingt points est
constituée par les sommets d'un dodécaèdre régulier, homothétique de celui qui joint les
centres des faces de l'icosaèdre (fig. 6.6).
Figure 6.6 Dodécaèdre
Le groupe G est nommé groupe icosaédral. On peut montrer qu'il est isomorphe à A 5 ,
voici une indication sur une méthode « géométrique » ; dans un dodécaèdre, il y a cinq
cubes inscrits, dont les arêtes sont des diagonales des faces (qui sont des pentagones), et
chaque sommet du dodécaèdre est sommet de deux des cubes, ces deux cubes ayant alors
une diagonale en commun. On peut alors voir (si l'on voit bien ... ) que:
- les rotations d'ordre deux conservent un cube et permutent les autres par paires, formant
quinze doubles transpositions des cinq cubes ;
- les rotations d'ordre trois laissent fixes deux cubes (ceux qui ont pour diagonale commune l'axe de la rotation) et permutent les trois autres cycliquement, formant vingt
3-cycles;
- les rotations d'ordre cinq permutent les cinq cubes circulairement, formant vingt-quatre
5-cycles.
6.2.3 Sous-groupes finis de 0(3)
1) G
+
est le noyau du morphisme déterminant, c'est un sous-groupe normal de G. Si le morphisme est surjectif, c'est-à-dire s'il existe au moins une isométrie négative (réflexion ou
1. On pourra consulter avec profit un bon livre de géométrie, comme (15), (8), (27).
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