Solutions des problèmes
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demi-tours qui les permutent et des rotations d'ordre trois seraient aussi dans le même
plan, et donc également tous les pôles. C'est impossible, les rotations d'ordre trois doivent
faire sortir les points de ce plan. On en déduit que G agit sur cet ensemble de quatre
points, de façon fidèle (une isométrie fixant quatre points non coplanaires est l'identité),
et donc que G est un sous-groupe d'indice deux du groupe S4 , isomorphe donc à Ai ; il
ressort également de cela que les quatre points A, B, C et D sont équidistants et forment
un tétraèdre régulier.
8) Dans le cas c), il y a une orbite ayant douze points, pôles de rotations d'ordre deux, une
orbite ayant huit points, pôles de rotations d'ordre trois, et une orbite de six points, pôles de
rotations d'ordre quatre. On s'intéresse à l'orbite de huit points; ces points sont opposés
deux à deux (car une rotation d'ordre trois a deux pôles). On peut faire agir G sur les
quatre segments joignant ces points opposés ; on montre que cette action est fidèle. Si en
effet une rotation induit l'identité sur ces quatre segments, elle ne peut en fixer point par
point qu'un seul au plus (son axe); les deux autres sont donc transformés en leur opposé,
soit les quatre segments sont coplanaires, soit deux coplanaires, l'autre perpendiculaire à
ce plan. Mais alors les axes des demi-tours de G vont être dans ces deux directions, ce
qui est incompatible avec le fait qu'ils sont permutés par les éléments d'ordre trois. On en
déduit que G qui a 24 éléments est isomorphe à S 4 . On peut alors montrer que ces trois
segments sont les diagonales d'un cube. Si l'on comptabilise les rotations qui conservent
le cube : huit d'ordre trois d'axes ces trois diagonales, six d'ordre quatre d'axes joignant
les milieux des faces opposées, les trois demi-tours de mêmes axes, et enfin les six demitciurs d'axes joignant les milieux des arêtes opposées, on obtient, avec l'identité, nos 24
éléments. Ce groupe de rotation s'appelle le groupe octaédral. Il a déjà été rencontré
dans l'étude des produits en couronne du problème précédent. Il est ( comme son nom
l'indique ... ) également le groupe des rotations qui conservent un octaèdre régulier. Les
sommets de cet octaèdre peuvent être vus comme les éléments de l'orbite de six points,
homothétique de l'octaèdre inscrit dans un cube que montre la figure 6.5 .
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Figure 6.5 Cube
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demi-tours qui les permutent et des rotations d'ordre trois seraient aussi dans le même
plan, et donc également tous les pôles. C'est impossible, les rotations d'ordre trois doivent
faire sortir les points de ce plan. On en déduit que G agit sur cet ensemble de quatre
points, de façon fidèle (une isométrie fixant quatre points non coplanaires est l'identité),
et donc que G est un sous-groupe d'indice deux du groupe S4 , isomorphe donc à Ai ; il
ressort également de cela que les quatre points A, B, C et D sont équidistants et forment
un tétraèdre régulier.
8) Dans le cas c), il y a une orbite ayant douze points, pôles de rotations d'ordre deux, une
orbite ayant huit points, pôles de rotations d'ordre trois, et une orbite de six points, pôles de
rotations d'ordre quatre. On s'intéresse à l'orbite de huit points; ces points sont opposés
deux à deux (car une rotation d'ordre trois a deux pôles). On peut faire agir G sur les
quatre segments joignant ces points opposés ; on montre que cette action est fidèle. Si en
effet une rotation induit l'identité sur ces quatre segments, elle ne peut en fixer point par
point qu'un seul au plus (son axe); les deux autres sont donc transformés en leur opposé,
soit les quatre segments sont coplanaires, soit deux coplanaires, l'autre perpendiculaire à
ce plan. Mais alors les axes des demi-tours de G vont être dans ces deux directions, ce
qui est incompatible avec le fait qu'ils sont permutés par les éléments d'ordre trois. On en
déduit que G qui a 24 éléments est isomorphe à S 4 . On peut alors montrer que ces trois
segments sont les diagonales d'un cube. Si l'on comptabilise les rotations qui conservent
le cube : huit d'ordre trois d'axes ces trois diagonales, six d'ordre quatre d'axes joignant
les milieux des faces opposées, les trois demi-tours de mêmes axes, et enfin les six demitciurs d'axes joignant les milieux des arêtes opposées, on obtient, avec l'identité, nos 24
éléments. Ce groupe de rotation s'appelle le groupe octaédral. Il a déjà été rencontré
dans l'étude des produits en couronne du problème précédent. Il est ( comme son nom
l'indique ... ) également le groupe des rotations qui conservent un octaèdre régulier. Les
sommets de cet octaèdre peuvent être vus comme les éléments de l'orbite de six points,
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