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Théorie des groupes
6) On suppose maintenant qu'il y a trois orbites, avec n = 2m pair, n , = n2 = 2 et n 3 = m.
Si, pour commencer, m = 2, alors les stabilisateurs sont trois groupes engendrés par des
rotations d'angles 'Tl' ou demi-tours, et donc les trois orbites sont formées de pôles opposés.
Mais si x est un pôle, pour que son orbite ne contienne que le point opposé, il faut que les
axes des autres demi-tours soient dans le plan orthogonal. Les trois demi-tours ont donc
des axes deux à deux perpendiculaires, et le groupe G est le groupe (Z/2)
3
•
Si m > 2, la troisième orbite contient deux pôles opposés, axe d'une rotation p d'ordre
m > 2. Les autres orbites ont des stabilisateurs d'ordre 2, donc correspondant à des demitours, d'axe orthogonal à celui de p. Comme leur cardinal est m, les sommets de chaque
orbite forment un polygone régulier à n côtés, la figure formée dans le plan est donc celle
de deux polygones réguliers imbriqués, et le groupe G est engendré par un p et un des
demi-tour r : on vérifie que r op or = p1
et l'on reconnaît le groupe diédral ID> 2111
• La
figure la plus simple dont le stabilisateur est un polygone régulier plan à n côtés.
7) Soit G le groupe des rotations conservant un tétraèdre régulier ; il contient les rotations
joignant un sommet au centre de la face opposée, au nombre de huit (deux par sommet),
les demi-tours d'axes joignant les milieux des arêtes opposées, soit trois éléments, ce qui
fait douze avec l'identité. Une façon rapide de voir qu'il n'y a rien d'autre est de considérer
le groupe de toutes les isométries conservant le tétraèdre, c'est un sous-groupe du groupe
des permutations des quatre sommets, et le groupe des rotations en est un sous-groupe
d'indice 2 (application déterminant): il a donc un maximum de 12 éléments. Nous avons
en prime le fait que ce groupe est isomorphe à Ai. Les pôles d'un demi-tour sont dans une
même orbite qui contient six éléments, et qui dessine un octaèdre régulier, homothétique
de celui qui joint les milieux des arêtes. Les pôles des autres rotations sont dans deux
orbites de quatre éléments qui forment deux tétraèdres réguliers. Vo ir la figure 6.4 où l'on
a représenté un seul des tétraèdres et l'octaèdre inscrit.
Figure 6.4 Tétraèdre
Reste à montrer qu'il n'y a pas d'autre groupe correspondant à cette structure d'orbites
sur P. L'idée de départ est que nous connaissons les ordres des éléments de G, il y a
deux orbites de quatre éléments, correspondant à huit rotations d'ordre trois, une orbite de
six éléments pour trois rotations d'ordre deux. Appelons A, B, Cet D les éléments d'une
des orbites d'ordre quatre. Ces quatre points ne sont pas coplanaires, sinon les axes des
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Théorie des groupes
6) On suppose maintenant qu'il y a trois orbites, avec n = 2m pair, n , = n2 = 2 et n 3 = m.
Si, pour commencer, m = 2, alors les stabilisateurs sont trois groupes engendrés par des
rotations d'angles 'Tl' ou demi-tours, et donc les trois orbites sont formées de pôles opposés.
Mais si x est un pôle, pour que son orbite ne contienne que le point opposé, il faut que les
axes des autres demi-tours soient dans le plan orthogonal. Les trois demi-tours ont donc
des axes deux à deux perpendiculaires, et le groupe G est le groupe (Z/2)
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Si m > 2, la troisième orbite contient deux pôles opposés, axe d'une rotation p d'ordre
m > 2. Les autres orbites ont des stabilisateurs d'ordre 2, donc correspondant à des demitours, d'axe orthogonal à celui de p. Comme leur cardinal est m, les sommets de chaque
orbite forment un polygone régulier à n côtés, la figure formée dans le plan est donc celle
de deux polygones réguliers imbriqués, et le groupe G est engendré par un p et un des
demi-tour r : on vérifie que r op or = p1
et l'on reconnaît le groupe diédral ID> 2111
• La
figure la plus simple dont le stabilisateur est un polygone régulier plan à n côtés.
7) Soit G le groupe des rotations conservant un tétraèdre régulier ; il contient les rotations
joignant un sommet au centre de la face opposée, au nombre de huit (deux par sommet),
les demi-tours d'axes joignant les milieux des arêtes opposées, soit trois éléments, ce qui
fait douze avec l'identité. Une façon rapide de voir qu'il n'y a rien d'autre est de considérer
le groupe de toutes les isométries conservant le tétraèdre, c'est un sous-groupe du groupe
des permutations des quatre sommets, et le groupe des rotations en est un sous-groupe
d'indice 2 (application déterminant): il a donc un maximum de 12 éléments. Nous avons
en prime le fait que ce groupe est isomorphe à Ai. Les pôles d'un demi-tour sont dans une
même orbite qui contient six éléments, et qui dessine un octaèdre régulier, homothétique
de celui qui joint les milieux des arêtes. Les pôles des autres rotations sont dans deux
orbites de quatre éléments qui forment deux tétraèdres réguliers. Vo ir la figure 6.4 où l'on
a représenté un seul des tétraèdres et l'octaèdre inscrit.
Figure 6.4 Tétraèdre
Reste à montrer qu'il n'y a pas d'autre groupe correspondant à cette structure d'orbites
sur P. L'idée de départ est que nous connaissons les ordres des éléments de G, il y a
deux orbites de quatre éléments, correspondant à huit rotations d'ordre trois, une orbite de
six éléments pour trois rotations d'ordre deux. Appelons A, B, Cet D les éléments d'une
des orbites d'ordre quatre. Ces quatre points ne sont pas coplanaires, sinon les axes des
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