Solutions des problèmes
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6.2 GROUPES POLYÉDRAUX ET BINAIRES POLYÉDRAUX
6.2.1 Groupe d'isométries conservant un ensemble
1) Il suffit de considérer l'action du groupe des isométries sur les sous-ensembles du plan. Le
groupe des isométries conservant S est alors son stabilisateur pour cette action.
2) Faisons un catalogue, sans détailler tous les arguments.
- Le groupe des isométries d'une droite contient toutes les translations de vecteurs appartenant à la direction de la droite, toutes les symétries centrales de centre sur la
droite, cela forme le groupe des isométries directes conservant la droite (il ne peut y
avoir d'autre translation, ni d'autre rotation). Le groupe formé est isomorphe au produit semi-direct lR >4 {+1, -1} (qui est un groupe diédral généralisé). En composant
avec la réflexion d'axe la droite, on obtient les pseudo-symétries ayant pour axe cette
droite et les réflexions d'axe orthogonal à la droite. Comme la réflexion d'axe la droite
commute avec les translations et les symétries centrales, le groupe obtenu est le produit
direct du groupe précédent avec le groupe à deux éléments.
- Toutes les rotations de centre le centre du cercle, toutes les réflexions d'axe un diamètre
du cercle conviennent, et il n'y en a pas d'autre car le centre du cercle doit être un
point invariant. Le groupe obtenu est le produit semi-direct de 1U par le groupe à deux
éléments, puisqu'aucune de ces réflexions ne commute avec les rotations.
- Le groupe des isométries d'un carré est le groupe diédral 11)) 8 , il suffit de rechercher
les rotations conservant le carré ; leur centre est le centre du carré et elles forment un
groupe cyclique d'ordre 4. On compose alors avec une des réflexions qui conservent le
carré.
- Si le rectangle n'est pas carré, le groupe des isométries du rectangle est le groupe de
Klein V, contenant une symétrie centrale, deux réflexions d'axes les médiatrices des
côtés et l'identité. Ce groupe, isomorphe à Z/2 x Z/2 est aussi connu sous le nom de
groupe ... du rectangle.
- Si le triangle est équilatéral, son groupe d'isométries est 11)) 6 ou S 3 . S'il est isocèle sans
être équilatéral, il n'y a que l'identité et la réflexion d'axe la médiatrice qui est axe de
symétrie, et si le triangle est vraiment quelconque, il n'y a que l'identité.
3) Commençons par observer que le modèle des sommets d'un polygone convexe régulier à
n côtés est l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité, sur le cercle trigonométrique. Une
rotation conservera ce polygone si son centre est l'origine et si son angle est un multiple
de �� . Le groupe des rotations est donc cyclique d'ordre n, en composant avec la réflexion
d'axe Ox, on obtient le groupe diédral 11)) 211 •
4) Si S est fini, alors les éléments de ls ont un point fixe commun. Soit en effet G l'isobarycentre des points de S. Comme une isométrie conserve les barycentres, tout élément f
de ls transforme G en l'isobarycentre des éléments de /(S) = S dont en G; le point G est
un point invariant de S, nous avons d'ailleurs utilisé ce résultat dans certains des exercices
précédents. Par ailleurs, si S contient n + 1 points affinement indépendants en dimension n,
l'action de ls sur S est fidèle (une isométrie qui fixe ces points est l'identité) et ls est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique de S donc est fini. On peut même réduire à
n points, car une isométrie fixant un hyperplan est l'identité ou une réflexion. Ainsi, il y a
www.bibliomath.com
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6.2 GROUPES POLYÉDRAUX ET BINAIRES POLYÉDRAUX
6.2.1 Groupe d'isométries conservant un ensemble
1) Il suffit de considérer l'action du groupe des isométries sur les sous-ensembles du plan. Le
groupe des isométries conservant S est alors son stabilisateur pour cette action.
2) Faisons un catalogue, sans détailler tous les arguments.
- Le groupe des isométries d'une droite contient toutes les translations de vecteurs appartenant à la direction de la droite, toutes les symétries centrales de centre sur la
droite, cela forme le groupe des isométries directes conservant la droite (il ne peut y
avoir d'autre translation, ni d'autre rotation). Le groupe formé est isomorphe au produit semi-direct lR >4 {+1, -1} (qui est un groupe diédral généralisé). En composant
avec la réflexion d'axe la droite, on obtient les pseudo-symétries ayant pour axe cette
droite et les réflexions d'axe orthogonal à la droite. Comme la réflexion d'axe la droite
commute avec les translations et les symétries centrales, le groupe obtenu est le produit
direct du groupe précédent avec le groupe à deux éléments.
- Toutes les rotations de centre le centre du cercle, toutes les réflexions d'axe un diamètre
du cercle conviennent, et il n'y en a pas d'autre car le centre du cercle doit être un
point invariant. Le groupe obtenu est le produit semi-direct de 1U par le groupe à deux
éléments, puisqu'aucune de ces réflexions ne commute avec les rotations.
- Le groupe des isométries d'un carré est le groupe diédral 11)) 8 , il suffit de rechercher
les rotations conservant le carré ; leur centre est le centre du carré et elles forment un
groupe cyclique d'ordre 4. On compose alors avec une des réflexions qui conservent le
carré.
- Si le rectangle n'est pas carré, le groupe des isométries du rectangle est le groupe de
Klein V, contenant une symétrie centrale, deux réflexions d'axes les médiatrices des
côtés et l'identité. Ce groupe, isomorphe à Z/2 x Z/2 est aussi connu sous le nom de
groupe ... du rectangle.
- Si le triangle est équilatéral, son groupe d'isométries est 11)) 6 ou S 3 . S'il est isocèle sans
être équilatéral, il n'y a que l'identité et la réflexion d'axe la médiatrice qui est axe de
symétrie, et si le triangle est vraiment quelconque, il n'y a que l'identité.
3) Commençons par observer que le modèle des sommets d'un polygone convexe régulier à
n côtés est l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité, sur le cercle trigonométrique. Une
rotation conservera ce polygone si son centre est l'origine et si son angle est un multiple
de �� . Le groupe des rotations est donc cyclique d'ordre n, en composant avec la réflexion
d'axe Ox, on obtient le groupe diédral 11)) 211 •
4) Si S est fini, alors les éléments de ls ont un point fixe commun. Soit en effet G l'isobarycentre des points de S. Comme une isométrie conserve les barycentres, tout élément f
de ls transforme G en l'isobarycentre des éléments de /(S) = S dont en G; le point G est
un point invariant de S, nous avons d'ailleurs utilisé ce résultat dans certains des exercices
précédents. Par ailleurs, si S contient n + 1 points affinement indépendants en dimension n,
l'action de ls sur S est fidèle (une isométrie qui fixe ces points est l'identité) et ls est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique de S donc est fini. On peut même réduire à
n points, car une isométrie fixant un hyperplan est l'identité ou une réflexion. Ainsi, il y a
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