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Théorie des groupes
un nombre fini d'isométries planes fixant deux points, mais un nombre infini en dimension
trois.
5) Si G est un groupe fini, soit A un point quelconque ; son orbite est finie, appelons M
l'isobarycentre des points g(A), où g parcourt G. Alors M est fixe par tout élément go de
G, puisque c'est l'isobarycentre des g 0 (g(A)) et que la translation à gauche est une bijection
de G.
6) En vectorialisant en un point fixe commun des isométries de G, il y a isomorphisme
entre un groupe fini d'isométries ponctuelles et un groupe fini d'isométries vectorielles
(ou transformations orthogonales). Les sous-groupes finis de S0(2, li) sont faciles à déterminer, un tel sous-groupe est un sous-groupe fini de 1U, groupe des racines n-ièmes de
l'unité, qui est en bijection avec S0(2, li). D'après le théorème de Lagrange, un tel groupe
est formé d'éléments qui vérifient x' = l, c'est donc un sous-groupe du groupe cyclique
des racines n-ièmes de l'unité, donc un groupe cyclique. Soit alors un sous-groupe fini
G de 0(2, li). Le morphisme déterminant a pour noyau un sous-groupe fini de S0(2, li).
S'il est surjectif, G
+
= G n S0(2, li) est un sous-groupe normal d'indice 2 de G; c'est
un sous-groupe cyclique d'ordre n, et G est un groupe diédral IIJ>21 1 • En effet, il existe un
relèvement de la forme { id, cr}, où cr est n'importe quelle isométrie négative de G ( ce sont
toutes des réflexions), et aucun de ces relèvements n'est normal, car aucune isométrie ne
commute avec toutes les rotations de G
1
• On obtient donc une structure semi-directe, dont
on sait qu'elle est unique. Vo ir pour cette question le problème 3.5.2.
6.2.2 Sous-groupes finis de S0(3)
l) Soit x un point de P. C'est un pôle de la rotation g 0 ; prenons g E G, alors g o g 0 o
g1
(g(P)) = g(P) prouve que g(P) est aussi un pôle d'un élément de G. Il y donc bien une
action, par restriction, de G sur P.
2) G x est un groupe formé de rotations ayant toutes le même axe. Les restrictions de ces
rotations à l'orthogonal de l'axe forment un sous-groupe de rotation planes, isomorphes à
G x , Ce groupe est donc cyclique ; on note n x son cardinal, qui est bien sûr inférieur à n. Il
n'est pas égal à un, seule l'identité est d'ordre l .
3) La formule de Burnside s'écrit:
l
k= - L Xg
gEG
où x 8 est le nombre des points fixes de la rotation g. Sig =/ id, cette rotation a deux points
fixes, les deux intersections de l'axe de g avec la sphère; et l'identité a pour points fixes
tous les éléments de P. On en déduit :
k
k
nk = 2(n - l) + IPI = 2(n - 1) + L I Gxd = 2(n - 1) + L �
i= I
i= I n,
ce qui donne, en remuant un peu, la relation :
n t ( 1 - � ) = 2(n - 1)
i= I
1
1. À l'exception du cas du groupe de Klein.
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Théorie des groupes
un nombre fini d'isométries planes fixant deux points, mais un nombre infini en dimension
trois.
5) Si G est un groupe fini, soit A un point quelconque ; son orbite est finie, appelons M
l'isobarycentre des points g(A), où g parcourt G. Alors M est fixe par tout élément go de
G, puisque c'est l'isobarycentre des g 0 (g(A)) et que la translation à gauche est une bijection
de G.
6) En vectorialisant en un point fixe commun des isométries de G, il y a isomorphisme
entre un groupe fini d'isométries ponctuelles et un groupe fini d'isométries vectorielles
(ou transformations orthogonales). Les sous-groupes finis de S0(2, li) sont faciles à déterminer, un tel sous-groupe est un sous-groupe fini de 1U, groupe des racines n-ièmes de
l'unité, qui est en bijection avec S0(2, li). D'après le théorème de Lagrange, un tel groupe
est formé d'éléments qui vérifient x' = l, c'est donc un sous-groupe du groupe cyclique
des racines n-ièmes de l'unité, donc un groupe cyclique. Soit alors un sous-groupe fini
G de 0(2, li). Le morphisme déterminant a pour noyau un sous-groupe fini de S0(2, li).
S'il est surjectif, G
+
= G n S0(2, li) est un sous-groupe normal d'indice 2 de G; c'est
un sous-groupe cyclique d'ordre n, et G est un groupe diédral IIJ>21 1 • En effet, il existe un
relèvement de la forme { id, cr}, où cr est n'importe quelle isométrie négative de G ( ce sont
toutes des réflexions), et aucun de ces relèvements n'est normal, car aucune isométrie ne
commute avec toutes les rotations de G
1
• On obtient donc une structure semi-directe, dont
on sait qu'elle est unique. Vo ir pour cette question le problème 3.5.2.
6.2.2 Sous-groupes finis de S0(3)
l) Soit x un point de P. C'est un pôle de la rotation g 0 ; prenons g E G, alors g o g 0 o
g1
(g(P)) = g(P) prouve que g(P) est aussi un pôle d'un élément de G. Il y donc bien une
action, par restriction, de G sur P.
2) G x est un groupe formé de rotations ayant toutes le même axe. Les restrictions de ces
rotations à l'orthogonal de l'axe forment un sous-groupe de rotation planes, isomorphes à
G x , Ce groupe est donc cyclique ; on note n x son cardinal, qui est bien sûr inférieur à n. Il
n'est pas égal à un, seule l'identité est d'ordre l .
3) La formule de Burnside s'écrit:
l
k= - L Xg
gEG
où x 8 est le nombre des points fixes de la rotation g. Sig =/ id, cette rotation a deux points
fixes, les deux intersections de l'axe de g avec la sphère; et l'identité a pour points fixes
tous les éléments de P. On en déduit :
k
k
nk = 2(n - l) + IPI = 2(n - 1) + L I Gxd = 2(n - 1) + L �
i= I
i= I n,
ce qui donne, en remuant un peu, la relation :
n t ( 1 - � ) = 2(n - 1)
i= I
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1. À l'exception du cas du groupe de Klein.
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