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Théorie des groupes
2) G s'identifie à l'ensemble G* des (le, g) où g parcourt G et oùf e est l'application constante
égale à e, neutre de H. Si maintenant on fixe x E X et l'on considère les applications .fi,,
valant h pour x et valant e pour les autres éléments de X, on obtient un groupe isomorphe
àH.
3) H* est bien sûr isomorphe à H, et si, par un abus de notation, on l'identifie à son image
dans le produit semi-direct W, c'est un sous-groupe de W. Si maintenant on considère
H*G*, c'est un aussi un sous-groupe du groupe W qui est isomorphe à H x G.
4) Il faut vérifier que c'est une action. C'est immédiat pour le neutre et :
(f' ' g'). ((f, g).\j,(x)) =
=
=
(f' g' f , g' g).\j,(x)
=
(f' ' g').$(x)
-
1
f'(x).\j,(g' - .x)
f'(x).(f(g' -
1 .x).\j,(g -
1 .g,- 1 .x)
f'(x)f(g' -
1 .x).\j,((g' g)1 .x)
avec des notations faciles à comprendre. Si l'on se restreint à G *, et à H* les actions
s'écrivent :
g.\j,(x) = \j,(g- 1 .x) et (h.\j,)(x) = h.\j,(x)
avec les identifications, on retrouve les deux actions habituelles, sur l'ensemble de départ
et sur l'ensemble d'arrivée.
5) Si H n'est pas commutatif, il n'y a pas de raison que le produit restreint soit normal dans
le produit complet ; on peut essayer avec par exemple un conjugué de (e, g) où e est l'application constante égale à e, par un élément de la forme (f, e) oùf est quelconque.
6) Soit (f, g) un élément du centre. Cherchons le conjugué de (k, e) où k(x) = h =/ e, tous les
autres éléments valant e. Sig ne fixe pas x, le conjugué est différent de k. On en déduit que
g est forcément l'identité, lorsque l'action de G sur X est fidèle. Maintenant, l'examen du
conjugué d'un élément de la forme (e, 'T) où e désigne l'application constante égale à e et 'T
un élément de G qui transforme x en y, montre quef(x) = f(y), la transitivité impose donc
que f soit constante. Dans le cas du produit complet, le centre est donc un groupe diagonal
construit sur le centre de H. Dans le cas du produit restreint, il est réduit au neutre.
Le résultat précédent s'applique au produit restreint (produit semi-direct de p-groupes,
c'est un p-groupe). On a ainsi un contre-exemple au résultat bien connu sur les p-groupes
finis, leur centre est trivial.
7) Les éléments de K s'écrivant (u 11 , 0), on a bien sûr :
(u 11 , O)(v 11 , 0) = (u " + V11 , 0)
et K est un sous-groupe. En revanche, si t est le couple (0, 1) où O est pour la suite nulle,
t(u,., O)t1
= (u 11 _ 1 , 0), et donc le conjugué des K correspond aux suites nulles à partir
de l; on a bien tKt- 1 < K. On peut d'ailleurs construire une chaîne de conjugués inclus les uns dans les autres. Signalons pour terminer qu'il est peu fréquent d'avoir de tels
exemples.
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Théorie des groupes
2) G s'identifie à l'ensemble G* des (le, g) où g parcourt G et oùf e est l'application constante
égale à e, neutre de H. Si maintenant on fixe x E X et l'on considère les applications .fi,,
valant h pour x et valant e pour les autres éléments de X, on obtient un groupe isomorphe
àH.
3) H* est bien sûr isomorphe à H, et si, par un abus de notation, on l'identifie à son image
dans le produit semi-direct W, c'est un sous-groupe de W. Si maintenant on considère
H*G*, c'est un aussi un sous-groupe du groupe W qui est isomorphe à H x G.
4) Il faut vérifier que c'est une action. C'est immédiat pour le neutre et :
(f' ' g'). ((f, g).\j,(x)) =
=
=
(f' g' f , g' g).\j,(x)
=
(f' ' g').$(x)
-
1
f'(x).\j,(g' - .x)
f'(x).(f(g' -
1 .x).\j,(g -
1 .g,- 1 .x)
f'(x)f(g' -
1 .x).\j,((g' g)1 .x)
avec des notations faciles à comprendre. Si l'on se restreint à G *, et à H* les actions
s'écrivent :
g.\j,(x) = \j,(g- 1 .x) et (h.\j,)(x) = h.\j,(x)
avec les identifications, on retrouve les deux actions habituelles, sur l'ensemble de départ
et sur l'ensemble d'arrivée.
5) Si H n'est pas commutatif, il n'y a pas de raison que le produit restreint soit normal dans
le produit complet ; on peut essayer avec par exemple un conjugué de (e, g) où e est l'application constante égale à e, par un élément de la forme (f, e) oùf est quelconque.
6) Soit (f, g) un élément du centre. Cherchons le conjugué de (k, e) où k(x) = h =/ e, tous les
autres éléments valant e. Sig ne fixe pas x, le conjugué est différent de k. On en déduit que
g est forcément l'identité, lorsque l'action de G sur X est fidèle. Maintenant, l'examen du
conjugué d'un élément de la forme (e, 'T) où e désigne l'application constante égale à e et 'T
un élément de G qui transforme x en y, montre quef(x) = f(y), la transitivité impose donc
que f soit constante. Dans le cas du produit complet, le centre est donc un groupe diagonal
construit sur le centre de H. Dans le cas du produit restreint, il est réduit au neutre.
Le résultat précédent s'applique au produit restreint (produit semi-direct de p-groupes,
c'est un p-groupe). On a ainsi un contre-exemple au résultat bien connu sur les p-groupes
finis, leur centre est trivial.
7) Les éléments de K s'écrivant (u 11 , 0), on a bien sûr :
(u 11 , O)(v 11 , 0) = (u " + V11 , 0)
et K est un sous-groupe. En revanche, si t est le couple (0, 1) où O est pour la suite nulle,
t(u,., O)t1
= (u 11 _ 1 , 0), et donc le conjugué des K correspond aux suites nulles à partir
de l; on a bien tKt- 1 < K. On peut d'ailleurs construire une chaîne de conjugués inclus les uns dans les autres. Signalons pour terminer qu'il est peu fréquent d'avoir de tels
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