Solutions des problèmes
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3) Les groupes 'll/n w 'll/m peuvent être définis ainsi. Les éléments sont des couples ((a;), b)
où les m a; sont dans 'll/n et b dans 'll/m. La loi de groupe est alors:
((a;), b)((a ;), b') =(a; + a; + b , b + b')
l'indice étant pris modulo m. On peut reconnaître Z/2 w 'll/2 comme étant le groupe diédral
][))g (groupe non commutatif qui est un produit semi-direct). Parmi les autres, Z/3 w 'll/2
est d'ordre dix-huit, Z/2 w Z/3 est d'ordre vingt-quatre. C'est un bon exercice de chercher
à les identifier dans la liste fournie dans l'annexe ...
4) Commençons par le premier arbre. Une bijection va conserver ou échanger les deux
branches principales, puis on pourra échanger ou non les deux branches secondaires.
Si l'on numérote les extrémités de ces branches de gauche à droite, il y a un premier
sous-groupe de permutations :
id, (1,2), (3,4), (1,2)(3,4)
qui est isomorphe au groupe de Klein (Z/2)
2
. Si maintenant on utilise une permutation
qui échange les branches principales, par exemple (1, 3)(2, 4), on obtient un produit semidirect Z/2
2 � 'll/2 isomorphe au produit en couronne Z/2 w Z/2. On a déjà vu que ce
produit semi-direct est isomorphe au groupe diédral ][))g et d'ailleurs l'arbre a des points
communs avec un carré ... Ce groupe est un 2-Sylow de S4. Quant au groupe du second
arbre, il est construit en prenant deux groupes isomorphes à 11))8, bijections des deux sousarbres au-dessus des branches maîtresses, et l'on fait un produit semi-direct avec le groupe
'll/2. C'est un groupe qui peut s'écrire:
][))g w Z/2 � (Z/2 w Z/2) w Z/2
Il a 8
2
x 2 = 128 éléments et c'est un 2-Sylow de S 8 . En tant que groupe de permutations,
il est engendré par le groupe diédral sur (1, 2, 3, 4), le groupe diédral sur (5, 6, 7, 8) et la
permutation (1, 5)(2, 6)(3, 7)(4, 8) qui échange les branches maîtresses. Notre construction
est le point de départ de la construction des p-Sylow de S µ k et, plus généralement, de S,, .
Vo ir, par exemple, [24 ].
Profitons-en pour vérifier que, dans la version présentée, le produit en couronne n'est pas
associatif :
'll/2 w (Z/2 w Z/2)
a pour cardinal 2
8
x 8 = 2 048 éléments.
5) Quant au groupe d'isomorphismes de notre couronne, le même type de discussion montre
qu'il est produit en couronne de S 3 par Z/6. Il a donc 6
6
x 6 éléments.
6) Pour reprendre les exemples vus ci-dessus, prenons un arbre qui an branches principales
qui portent m sous-branches. Alors son groupe d'automorphismes est le produit en couronne S 111 w S,, de cardinal (m !)" x n!, qui divise donc (mn) !, car tout automorphisme de
l'arbre est un sous-groupe du groupe de bijections des extrémités.
6.1.3 Le cas général
1) Prenons pour X l'ensemble { 1, 2, ... , n}. Alors u x est en bijection avec H", à/ on associe
la liste (f(l),/(2), ... ,f(n)). Si maintenant G est un sous-groupe du groupe symétrique
S,,, il agit sur X et sur u x , a f(x) = f(a- 1 (x)) et la liste devient (f(a1
(1)),f(a- 1 (2)), ... ,
f(a1
(n))). C'est exactement la situation de la partie précédente.
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3) Les groupes 'll/n w 'll/m peuvent être définis ainsi. Les éléments sont des couples ((a;), b)
où les m a; sont dans 'll/n et b dans 'll/m. La loi de groupe est alors:
((a;), b)((a ;), b') =(a; + a; + b , b + b')
l'indice étant pris modulo m. On peut reconnaître Z/2 w 'll/2 comme étant le groupe diédral
][))g (groupe non commutatif qui est un produit semi-direct). Parmi les autres, Z/3 w 'll/2
est d'ordre dix-huit, Z/2 w Z/3 est d'ordre vingt-quatre. C'est un bon exercice de chercher
à les identifier dans la liste fournie dans l'annexe ...
4) Commençons par le premier arbre. Une bijection va conserver ou échanger les deux
branches principales, puis on pourra échanger ou non les deux branches secondaires.
Si l'on numérote les extrémités de ces branches de gauche à droite, il y a un premier
sous-groupe de permutations :
id, (1,2), (3,4), (1,2)(3,4)
qui est isomorphe au groupe de Klein (Z/2)
2
. Si maintenant on utilise une permutation
qui échange les branches principales, par exemple (1, 3)(2, 4), on obtient un produit semidirect Z/2
2 � 'll/2 isomorphe au produit en couronne Z/2 w Z/2. On a déjà vu que ce
produit semi-direct est isomorphe au groupe diédral ][))g et d'ailleurs l'arbre a des points
communs avec un carré ... Ce groupe est un 2-Sylow de S4. Quant au groupe du second
arbre, il est construit en prenant deux groupes isomorphes à 11))8, bijections des deux sousarbres au-dessus des branches maîtresses, et l'on fait un produit semi-direct avec le groupe
'll/2. C'est un groupe qui peut s'écrire:
][))g w Z/2 � (Z/2 w Z/2) w Z/2
Il a 8
2
x 2 = 128 éléments et c'est un 2-Sylow de S 8 . En tant que groupe de permutations,
il est engendré par le groupe diédral sur (1, 2, 3, 4), le groupe diédral sur (5, 6, 7, 8) et la
permutation (1, 5)(2, 6)(3, 7)(4, 8) qui échange les branches maîtresses. Notre construction
est le point de départ de la construction des p-Sylow de S µ k et, plus généralement, de S,, .
Vo ir, par exemple, [24 ].
Profitons-en pour vérifier que, dans la version présentée, le produit en couronne n'est pas
associatif :
'll/2 w (Z/2 w Z/2)
a pour cardinal 2
8
x 8 = 2 048 éléments.
5) Quant au groupe d'isomorphismes de notre couronne, le même type de discussion montre
qu'il est produit en couronne de S 3 par Z/6. Il a donc 6
6
x 6 éléments.
6) Pour reprendre les exemples vus ci-dessus, prenons un arbre qui an branches principales
qui portent m sous-branches. Alors son groupe d'automorphismes est le produit en couronne S 111 w S,, de cardinal (m !)" x n!, qui divise donc (mn) !, car tout automorphisme de
l'arbre est un sous-groupe du groupe de bijections des extrémités.
6.1.3 Le cas général
1) Prenons pour X l'ensemble { 1, 2, ... , n}. Alors u x est en bijection avec H", à/ on associe
la liste (f(l),/(2), ... ,f(n)). Si maintenant G est un sous-groupe du groupe symétrique
S,,, il agit sur X et sur u x , a f(x) = f(a- 1 (x)) et la liste devient (f(a1
(1)),f(a- 1 (2)), ... ,
f(a1
(n))). C'est exactement la situation de la partie précédente.
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