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Théorie des groupes
donnée par cr.(a;) = ( a 0 - 1c;>) (cf. 3. 1.8) et la loi dans le produit D,, � G 11 s'écrit:
(a, cr)(b, T) = (acr.b, cr o -r)
ce qui correspond exactement au produit de matrices fait ci-dessus.
4) B I est le groupe { + 1, -1}. B2 est un groupe de cardinal 8, ayant un sous-groupe normal
isomorphe à Z/2 x Z/2. On reconnaît le groupe diédral ][]) 8 , voir l'exercice 2.3. 1.
5) Le groupe B 3 a 48 éléments. Son sous-groupe B! est le noyau de l' application déterminant,
donc est normal et d'indice 2; on en déduit une structure de produit direct, puisque l'image
de cette application déterminant se relève en un groupe engendré par -/. Il en résulte
l'isomorphisme :
B 3 = B! x Z/2
6) Plaçons-nous dans JR
3
de sorte que la base canonique soit orthonormée, les huit points de
coordonnées (±1, ±1, ±1) sont les sommets d'un cube. Comme les éléments de B 3 sont
des matrices orthogonales qui conservent ce cube, et qu'il y en a 48, B 3 est bien le groupe
octaédral; voir l'étude de ce groupe dans le problème 5.2.2. Cherchons à interpréter le
sous-groupe D 3 . Il est constitué des réflexions par rapport aux trois plans de symétries
parallèles aux faces, des demi-tours autour des perpendiculaires à ces plans, de ±id. Par
ailleurs, on vérifie que G 3 est le stabilisateur du sommet (1 , 1, 1). Comme nous savons
également que le groupe des isométries directes qui conservent le cube, B!, est isomorphe
à S 4 , on aura les deux décompositions :
B 3 9t (Z/2)
3
� S 3 9t Z/2 x S4
7) Il s'agit de montrer que B,, est le groupe des isométries qui conservent une figure géométrique. C'est le cas de B 2 pour le carré, de B 3 pour le cube ou l'octaèdre. Soit donc
un espace vectoriel euclidien de dimension n, muni d'une base orthonormée directe (e; ).
On appellera hypercube le polyèdre intersection des demi-hyperespaces contenant l'origine, et dont les équations sont x; = ±1. Il y a 2" sommets de coordonnées ±1, on voit
clairement que tout élément de B,, transforme les sommets en des sommets, et l'on peut démontrer que c'est le groupe des isométries conservant l'hypercube. Il conserve également
l'hyperoctaèdre associé (obtenu en prenant pour sommets les points dont les coordonnées
sont nulles sauf une valant ± 1 ), d'où son nom, groupe hyperoctaédral.
6.1.2 Un cas plus général
1) Il suffit de prendre pour H le groupe Z/2 (dans sa version multiplicative), et pour G le
groupe S,, , B,, = Z/2 w S 11 • En effet, le produit de deux éléments du produit en couronne
se fait de la façon suivante :
((a;), cr)((b;), T) = ((a;b 0 -1(;) ) , O"T)
et c'est exactement ce que donne le produit de deux éléments de B,,.
2) Le groupe G admet un relèvement dans W, l'ensemble des couples (( e); = 1..11 ,g) où g parcourt G. Ce n'est pas un sous-groupe normal de W, car l'action de G n'est pas triviale
(quand H bien sûr n'est pas réduit à un élément).
Le groupe H" x { e} est lui normal dans W, et il contient des sous-groupes H;, projections,
qui sont tous isomorphes à H mais ne sont pas normaux dans W, le groupe gH;g1
est
Hr 1 <ï> · Il existe un autre sous-groupe isomorphe à H, c'est le sous-groupe diagonal formé
des couples (h);= 1 ..,, , e) où le premier terme est le n-uple constant et où h parcourt H.
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Théorie des groupes
donnée par cr.(a;) = ( a 0 - 1c;>) (cf. 3. 1.8) et la loi dans le produit D,, � G 11 s'écrit:
(a, cr)(b, T) = (acr.b, cr o -r)
ce qui correspond exactement au produit de matrices fait ci-dessus.
4) B I est le groupe { + 1, -1}. B2 est un groupe de cardinal 8, ayant un sous-groupe normal
isomorphe à Z/2 x Z/2. On reconnaît le groupe diédral ][]) 8 , voir l'exercice 2.3. 1.
5) Le groupe B 3 a 48 éléments. Son sous-groupe B! est le noyau de l' application déterminant,
donc est normal et d'indice 2; on en déduit une structure de produit direct, puisque l'image
de cette application déterminant se relève en un groupe engendré par -/. Il en résulte
l'isomorphisme :
B 3 = B! x Z/2
6) Plaçons-nous dans JR
3
de sorte que la base canonique soit orthonormée, les huit points de
coordonnées (±1, ±1, ±1) sont les sommets d'un cube. Comme les éléments de B 3 sont
des matrices orthogonales qui conservent ce cube, et qu'il y en a 48, B 3 est bien le groupe
octaédral; voir l'étude de ce groupe dans le problème 5.2.2. Cherchons à interpréter le
sous-groupe D 3 . Il est constitué des réflexions par rapport aux trois plans de symétries
parallèles aux faces, des demi-tours autour des perpendiculaires à ces plans, de ±id. Par
ailleurs, on vérifie que G 3 est le stabilisateur du sommet (1 , 1, 1). Comme nous savons
également que le groupe des isométries directes qui conservent le cube, B!, est isomorphe
à S 4 , on aura les deux décompositions :
B 3 9t (Z/2)
3
� S 3 9t Z/2 x S4
7) Il s'agit de montrer que B,, est le groupe des isométries qui conservent une figure géométrique. C'est le cas de B 2 pour le carré, de B 3 pour le cube ou l'octaèdre. Soit donc
un espace vectoriel euclidien de dimension n, muni d'une base orthonormée directe (e; ).
On appellera hypercube le polyèdre intersection des demi-hyperespaces contenant l'origine, et dont les équations sont x; = ±1. Il y a 2" sommets de coordonnées ±1, on voit
clairement que tout élément de B,, transforme les sommets en des sommets, et l'on peut démontrer que c'est le groupe des isométries conservant l'hypercube. Il conserve également
l'hyperoctaèdre associé (obtenu en prenant pour sommets les points dont les coordonnées
sont nulles sauf une valant ± 1 ), d'où son nom, groupe hyperoctaédral.
6.1.2 Un cas plus général
1) Il suffit de prendre pour H le groupe Z/2 (dans sa version multiplicative), et pour G le
groupe S,, , B,, = Z/2 w S 11 • En effet, le produit de deux éléments du produit en couronne
se fait de la façon suivante :
((a;), cr)((b;), T) = ((a;b 0 -1(;) ) , O"T)
et c'est exactement ce que donne le produit de deux éléments de B,,.
2) Le groupe G admet un relèvement dans W, l'ensemble des couples (( e); = 1..11 ,g) où g parcourt G. Ce n'est pas un sous-groupe normal de W, car l'action de G n'est pas triviale
(quand H bien sûr n'est pas réduit à un élément).
Le groupe H" x { e} est lui normal dans W, et il contient des sous-groupes H;, projections,
qui sont tous isomorphes à H mais ne sont pas normaux dans W, le groupe gH;g1
est
Hr 1 <ï> · Il existe un autre sous-groupe isomorphe à H, c'est le sous-groupe diagonal formé
des couples (h);= 1 ..,, , e) où le premier terme est le n-uple constant et où h parcourt H.
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