Solutions des problèmes
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--t (� � � ) --t (� � � )
0 4 0
0 0 0
La raison de l'apparition de cette colonne nulle est tout simplement que les vecteurs, dont nous sommes partis, ne sont pas indépendants. Le groupe quotient est
isomorphe à Z/2 x Z.
g) Pour que le quotient soit fini, il est nécessaire et suffisant que k = n, et donc que H soit
libre de rang n et ait une matrice adaptée carrée inversible.
h) Plaçons-nous donc dans l'hypothèse de la question précédente ; le nombre d'éléments
de Z" /H est le produit des facteurs invariants (d;). Or ce produit n'est autre que le
déterminant de la matrice adaptée finale ; et l'on voit sans peine que les opérations
faites sur une matrice adaptée, quand elle est carrée, ne changent pas la valeur absolue
de son déterminant. Il suffit d'utiliser la multilinéarité de ce déterminant. Il en résulte
que le cardinal du quotient est la valeur absolue du déterminant de n'importe quelle
matrice adaptée.
On retrouve, en particulier, le fait bien connu qu'une matrice est adaptée à Z" lui-même
ssi elle est de déterminant ± 1. C'est donc une caractérisation des matrices à coefficients
entiers dont l'inverse est à coefficients entiers.
6.1 LES PRODUITS EN COURONNE
6.1.1 Un exemple
1) Si Me t N sont des éléments de B,,, leur produit est encore une matrice de B,,. Posons
mu = a;8;,au> et nu = b;8;,TU) où 8 est le symbole de Kronecker
1
, O' et T des permutations
et (a;), (b;) des éléments de { -1, 1 }
11 • Alors, la matrice produit MN a des coefficients Pu
donnés par :
Il
PU = L a;bk8i,a (k)8k,TU) = a;ba- l (i) 8i,aoTU)
k=l
et c'est donc un élément de B,,. La même formule permet d'obtenir la matrice inverse de
M. Le cardinal de B,, est 2"n ! .
2) Le groupe G 11 est un sous-groupe de B 11 , formé des matrices pour lesquelles la suite (a;) est
constante égale à 1. On voit qu'il n'est pas normal. Prenons par exemple pour M la matrice
pour laquelle m 11 = -1, m;; = 1 si i > 1, les autres coefficients étant nuls. Alors, si P =/ l
est dans G,,, MPM - 1 est une matrice qui contient deux éléments ayant la valeur -1 (ligne
1 et colonne 1).
En revanche, D 11 est normal dans B,, puisque c'est le noyau de l'application qui à la matrice
(mu) associe la matrice (lmul). On vérifie en effet immédiatement que cette application est
un morphisme en utilisant le calcul ci-dessus.
3) On peut appliquer le critère de produit semi-direct, mais le calcul fait ci-dessus donne
également le résultat ; l'action de G,, (identifié à S,,) sur D 11 (identifié à { + 1, -1 }
11 ) est
1. Par définition, 6; j est nul, sauf si i = j et il vaut alors 1. La matrice carrée, dont les coefficients sont 6; j est
la matrice identité.
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La raison de l'apparition de cette colonne nulle est tout simplement que les vecteurs, dont nous sommes partis, ne sont pas indépendants. Le groupe quotient est
isomorphe à Z/2 x Z.
g) Pour que le quotient soit fini, il est nécessaire et suffisant que k = n, et donc que H soit
libre de rang n et ait une matrice adaptée carrée inversible.
h) Plaçons-nous donc dans l'hypothèse de la question précédente ; le nombre d'éléments
de Z" /H est le produit des facteurs invariants (d;). Or ce produit n'est autre que le
déterminant de la matrice adaptée finale ; et l'on voit sans peine que les opérations
faites sur une matrice adaptée, quand elle est carrée, ne changent pas la valeur absolue
de son déterminant. Il suffit d'utiliser la multilinéarité de ce déterminant. Il en résulte
que le cardinal du quotient est la valeur absolue du déterminant de n'importe quelle
matrice adaptée.
On retrouve, en particulier, le fait bien connu qu'une matrice est adaptée à Z" lui-même
ssi elle est de déterminant ± 1. C'est donc une caractérisation des matrices à coefficients
entiers dont l'inverse est à coefficients entiers.
6.1 LES PRODUITS EN COURONNE
6.1.1 Un exemple
1) Si Me t N sont des éléments de B,,, leur produit est encore une matrice de B,,. Posons
mu = a;8;,au> et nu = b;8;,TU) où 8 est le symbole de Kronecker
1
, O' et T des permutations
et (a;), (b;) des éléments de { -1, 1 }
11 • Alors, la matrice produit MN a des coefficients Pu
donnés par :
Il
PU = L a;bk8i,a (k)8k,TU) = a;ba- l (i) 8i,aoTU)
k=l
et c'est donc un élément de B,,. La même formule permet d'obtenir la matrice inverse de
M. Le cardinal de B,, est 2"n ! .
2) Le groupe G 11 est un sous-groupe de B 11 , formé des matrices pour lesquelles la suite (a;) est
constante égale à 1. On voit qu'il n'est pas normal. Prenons par exemple pour M la matrice
pour laquelle m 11 = -1, m;; = 1 si i > 1, les autres coefficients étant nuls. Alors, si P =/ l
est dans G,,, MPM - 1 est une matrice qui contient deux éléments ayant la valeur -1 (ligne
1 et colonne 1).
En revanche, D 11 est normal dans B,, puisque c'est le noyau de l'application qui à la matrice
(mu) associe la matrice (lmul). On vérifie en effet immédiatement que cette application est
un morphisme en utilisant le calcul ci-dessus.
3) On peut appliquer le critère de produit semi-direct, mais le calcul fait ci-dessus donne
également le résultat ; l'action de G,, (identifié à S,,) sur D 11 (identifié à { + 1, -1 }
11 ) est
1. Par définition, 6; j est nul, sauf si i = j et il vaut alors 1. La matrice carrée, dont les coefficients sont 6; j est
la matrice identité.
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