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Théorie des groupes
d) Dans le cas général, il faut procéder colonne après colonne de la façon suivante. Soit
d 1 le pgcd de tous les coefficients de la matrice adaptée. On commence, en faisant
des opérations sur les lignes, par mettre la première colonne sous la forme obtenue
ci-dessus, avec en première position m 1 pgcd des éléments de la première colonne. Si
m 1 est égal à d 1 , des opérations sur les colonnes permettent de mettre la matrice sous
la forme:
où O représente une ligne ou colonne nulle ; il suffit alors de continuer avec la matrice
M, on obtient la forme désirée. Remarquons, en passant, qu'il ne peut y avoir de colonne nulle, le nombre de vecteurs dans une base de H est constant.
Si maintenant m 1 n'est pas égal à d 1 , on s'y ramène ainsi; il existe au moins une ligne
dont m 1 ne divise pas tous les éléments; si ce n'est pas la première, en faisant une
combinaison de cette ligne avec la première, on obtient une première ligne avec m 1 et
des éléments non tous divisibles par m 1 • Par des manipulations de colonnes, on peut
mettre en tête de cette ligne le pgcd de ses éléments, m� qui est strictement plus petit
que m 1 , et des zéros sur le reste de la ligne. Sim� n'est pas d 1 , on recommence en
revenant cette fois à la première colonne ... Mais ce chassé-croisé doit se terminer car
la suite m 1 , m� est strictement décroissante.
e) En notant ( e D la nouvelle base de Z", la base de H est de la forme (d;eD pour i allant
de làket:
f)
Il
EB Ze � /Zd 1 e� E9 Zd2e� E9 ... E9 Zd k
e� ':ft Z/ d; E9 Z/ d; +1 E9 ••. E9 Z/ d k E9 z/ 1 -r
i= l
où d; est le premier des diviseurs différent de 1 ; on a obtenu la décomposition du
groupe abélien de type fini Z" /H.
i. Vo ici les matrices obtenues, le lecteur rétablira aisément les opérations utilisées :
c
4
l)
( �2
-2 2
--+
0 6
C
0
D G
0 6
--+
0 0
0
6
6
0
2
-2
o
) C
o o
) C
o o
)
10 --+ 0610--+ 061 0
12
0 6 12
0 0 2
o
) C
o o
) C
o o
)
4--+ 024 --+ 020
2
0 0 6
0 0 6
--+
--+
Le lecteur remarquera que, par fantaisie, on a traité la première ligne avant la première colonne. Le groupe quotient Z"/H 1 est donc isomorphe à (Z/2)
2
x Z/6.
ii. Cet exemple est une variante du précédent, car on obtient une colonne nulle ; voici
la succession des matrices obtenues :
(
12 4 4
)
(
-1
13 65 --+ 13
6 2 2
6
2 1
) (
1 0 0
)
-20 -8 --+ 0 20 8
-10 -4
0 10 4
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Théorie des groupes
d) Dans le cas général, il faut procéder colonne après colonne de la façon suivante. Soit
d 1 le pgcd de tous les coefficients de la matrice adaptée. On commence, en faisant
des opérations sur les lignes, par mettre la première colonne sous la forme obtenue
ci-dessus, avec en première position m 1 pgcd des éléments de la première colonne. Si
m 1 est égal à d 1 , des opérations sur les colonnes permettent de mettre la matrice sous
la forme:
où O représente une ligne ou colonne nulle ; il suffit alors de continuer avec la matrice
M, on obtient la forme désirée. Remarquons, en passant, qu'il ne peut y avoir de colonne nulle, le nombre de vecteurs dans une base de H est constant.
Si maintenant m 1 n'est pas égal à d 1 , on s'y ramène ainsi; il existe au moins une ligne
dont m 1 ne divise pas tous les éléments; si ce n'est pas la première, en faisant une
combinaison de cette ligne avec la première, on obtient une première ligne avec m 1 et
des éléments non tous divisibles par m 1 • Par des manipulations de colonnes, on peut
mettre en tête de cette ligne le pgcd de ses éléments, m� qui est strictement plus petit
que m 1 , et des zéros sur le reste de la ligne. Sim� n'est pas d 1 , on recommence en
revenant cette fois à la première colonne ... Mais ce chassé-croisé doit se terminer car
la suite m 1 , m� est strictement décroissante.
e) En notant ( e D la nouvelle base de Z", la base de H est de la forme (d;eD pour i allant
de làket:
f)
Il
EB Ze � /Zd 1 e� E9 Zd2e� E9 ... E9 Zd k
e� ':ft Z/ d; E9 Z/ d; +1 E9 ••. E9 Z/ d k E9 z/ 1 -r
i= l
où d; est le premier des diviseurs différent de 1 ; on a obtenu la décomposition du
groupe abélien de type fini Z" /H.
i. Vo ici les matrices obtenues, le lecteur rétablira aisément les opérations utilisées :
c
4
l)
( �2
-2 2
--+
0 6
C
0
D G
0 6
--+
0 0
0
6
6
0
2
-2
o
) C
o o
) C
o o
)
10 --+ 0610--+ 061 0
12
0 6 12
0 0 2
o
) C
o o
) C
o o
)
4--+ 024 --+ 020
2
0 0 6
0 0 6
--+
--+
Le lecteur remarquera que, par fantaisie, on a traité la première ligne avant la première colonne. Le groupe quotient Z"/H 1 est donc isomorphe à (Z/2)
2
x Z/6.
ii. Cet exemple est une variante du précédent, car on obtient une colonne nulle ; voici
la succession des matrices obtenues :
(
12 4 4
)
(
-1
13 65 --+ 13
6 2 2
6
2 1
) (
1 0 0
)
-20 -8 --+ 0 20 8
-10 -4
0 10 4
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