Solutions des problèmes
187
iii) Nous allons montrer que G 3 est isomorphe au p-groupe de Prüfer. Notons X k la
classe de Xk et définissons un morphisme/ de G 3 sur (Q/Z) p par:
1
f ( xk ) = k
p
L'existence de ce morphisme est assurée par le théorème de Von Dyck (cf. 2.2.11)
puisque, dans le groupe de Prüfer :
1
p - = 0
p
et
1
1
p pk+ I
= pk
(on a noté une fraction comme sa classe d'équivalence). Le morphisme est surjectif,
il faut montrer qu'il est injectif, si x E G 3 s'écrit
Il
x = L a kxk
i=O
où les a k sont des entiers, les relations permettent de le simplifier en x = ax,, où a
est entier. S'il est dans le noyau, a doit être multiple de p", d'où x = 0 puisque les
relations de G 3 impliquent p"x 11 = O.
2) Cas fini
a) Un groupe abélien de type fini est engendré par un nombre fini d'éléments, donc est
quotient d'un groupe abélien libre de type fini, c'est-à-dire quotient de Z" par un de
ses sous-groupes. Remarquons que la restriction donnée par l'énoncé (nombre fini de
relations) n'est pas utile, un sous-groupe d'un groupe abélien libre de type fini est
toujours abélien libre de type fini (cf. 4.2.9), donc le groupe des relations a toujours un
nombre fini de générateurs.
b) - Échanger ligne ou colonne revient à permuter les ( e ;) ou les (jj).
- L'opération décrite revient à remplacer ei par ei - ae;, le système de vecteurs obtenu
reste une base de Z".
- Le même type d'opération sur les colonnes fait subir une transformation analogue
sur les
de Z 11 ou de la base de H.
c) On a donc au départ une matrice adaptée qui est une colonne. S'il y a au moins deux
coefficients non nuls, une succession d'opérations sur les lignes peut faire apparaître
le pgcd de ces deux entiers, puis avec les autres coefficients non nuls le pgcd d de
tous les éléments de la colonne. Les mêmes opérations, plus des permutations et des
changements de signes permettent alors de mettre à zéro tous les éléments de la colonne
sauf celui contenant d. En notant ( e ;) la base de Z" obtenue à la suite de ces opérations :
Il
E9 Ze;/Zde� '::! Z/d (fJ Z (fJ ... (fJ Z
i= l
Si d = 1, cela signifie que / 1 est vecteur d'une base de Z" , et que le quotient est
isomorphe à z11 - 1
,
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iii) Nous allons montrer que G 3 est isomorphe au p-groupe de Prüfer. Notons X k la
classe de Xk et définissons un morphisme/ de G 3 sur (Q/Z) p par:
1
f ( xk ) = k
p
L'existence de ce morphisme est assurée par le théorème de Von Dyck (cf. 2.2.11)
puisque, dans le groupe de Prüfer :
1
p - = 0
p
et
1
1
p pk+ I
= pk
(on a noté une fraction comme sa classe d'équivalence). Le morphisme est surjectif,
il faut montrer qu'il est injectif, si x E G 3 s'écrit
Il
x = L a kxk
i=O
où les a k sont des entiers, les relations permettent de le simplifier en x = ax,, où a
est entier. S'il est dans le noyau, a doit être multiple de p", d'où x = 0 puisque les
relations de G 3 impliquent p"x 11 = O.
2) Cas fini
a) Un groupe abélien de type fini est engendré par un nombre fini d'éléments, donc est
quotient d'un groupe abélien libre de type fini, c'est-à-dire quotient de Z" par un de
ses sous-groupes. Remarquons que la restriction donnée par l'énoncé (nombre fini de
relations) n'est pas utile, un sous-groupe d'un groupe abélien libre de type fini est
toujours abélien libre de type fini (cf. 4.2.9), donc le groupe des relations a toujours un
nombre fini de générateurs.
b) - Échanger ligne ou colonne revient à permuter les ( e ;) ou les (jj).
- L'opération décrite revient à remplacer ei par ei - ae;, le système de vecteurs obtenu
reste une base de Z".
- Le même type d'opération sur les colonnes fait subir une transformation analogue
sur les
de Z 11 ou de la base de H.
c) On a donc au départ une matrice adaptée qui est une colonne. S'il y a au moins deux
coefficients non nuls, une succession d'opérations sur les lignes peut faire apparaître
le pgcd de ces deux entiers, puis avec les autres coefficients non nuls le pgcd d de
tous les éléments de la colonne. Les mêmes opérations, plus des permutations et des
changements de signes permettent alors de mettre à zéro tous les éléments de la colonne
sauf celui contenant d. En notant ( e ;) la base de Z" obtenue à la suite de ces opérations :
Il
E9 Ze;/Zde� '::! Z/d (fJ Z (fJ ... (fJ Z
i= l
Si d = 1, cela signifie que / 1 est vecteur d'une base de Z" , et que le quotient est
isomorphe à z11 - 1
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