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Théorie des groupes
4.4.1 Groupes commutatifs définis par générateurs et relations
1) Premiers exemples
a) Tout élément de G s'écrivant comme composé d'éléments de X ou de leurs inverses,
il suffit de remarquer que si x et y commutent, leurs inverses commutent également.
Réciproquement, on sait déj à que tout groupe admet une présentation par générateurs
et relations, et il suffit d'ajouter les relations x +y = y+ x si le groupe est commutatif.
Une façon alternative de voir les choses est de partir d'un groupe commutatif libre,
engendré par les éléments de X, donc de la forme:
E9zx
xEX
où Z x est une copie de Z indexée par x, et de quotienter ce groupe par le groupe des
relations.
b) Le groupe ( a l ) est monogène infini, isomorphe à Z, et bien sOr commutatif. De même,
grab{ al 5a = 0) est monogène engendré par un élément d'ordre 5, il est isomorphe
à Z/5. Enfin, K = grab{ a, b 1 5a = 0, 1b = 0) contient le sous-groupe engendré
par a, d'ordre 5, le sous-groupe engendré par b, d'ordre 7. Ces deux groupes sont
normaux, puisque K est abélien, ils commutent et leur intersection est nulle, K est
isomorphe au produit direct Z/5 x Z/7 '2!t Z/35. Remarquons le contraste avec le cas
non commutatif, où le groupe de présentation
K' = ( a , b I a
5
= b
1
= 1)
est infini.
c) i) On remarque que
p"x,. - xo = p"- 1 (px 11 - X11 - 1 ) + p"2
(p X11- I - X11 -
2 )
+ ... + (px, - xo)
=
'("'ll - 1 ; (p
)
u i =O p X ; + I - X;
et S2 < S 3 . L'inclusion est stricte car px 2 - x,
alors, par identification dans le groupe libre engendré par les x;, p = m 2 p
2
et -1 =
m 1 p, m 1 et m 2 sont nuls, de même que tous les autres coefficients.
De la même façon, S 1 < S2 puisque :
p
11+ 1
x 11 = p(p 11 x 11 - xo ) + pxo
et l'inclusion est bien stricte car px 1 - x 0 n'est pas dans le groupe engendré par les
p
k+ I
x k , voir le coefficient de xo.
Des inclusions S 1 < S2 < S 3 , on déduit, par le théorème de Von Dyck, qu'il existe
des morphismes surjectifs de G 3 sur G2 et de G2 sur G 1 , donc que G 3 est isomorphe
à un quotient de G2 et G2 est isomorphe à un quotient de G 1 •
ii) Dans le cas du groupe G 1 , chaque relation ne concerne qu'un générateur, et le
groupe des relations peut donc s'écrire :
S 1 = Zpxo EB Zp
2
x, EB ... EB Zp'r
+ 1 x 11 EB ...
et donc le quotient du groupe commutatif libre engendré par ces relations est
G 1 = Z/p EB Z/p
2
EB ... EB Z/p
11+1
EB ...
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Théorie des groupes
4.4.1 Groupes commutatifs définis par générateurs et relations
1) Premiers exemples
a) Tout élément de G s'écrivant comme composé d'éléments de X ou de leurs inverses,
il suffit de remarquer que si x et y commutent, leurs inverses commutent également.
Réciproquement, on sait déj à que tout groupe admet une présentation par générateurs
et relations, et il suffit d'ajouter les relations x +y = y+ x si le groupe est commutatif.
Une façon alternative de voir les choses est de partir d'un groupe commutatif libre,
engendré par les éléments de X, donc de la forme:
E9zx
xEX
où Z x est une copie de Z indexée par x, et de quotienter ce groupe par le groupe des
relations.
b) Le groupe ( a l ) est monogène infini, isomorphe à Z, et bien sOr commutatif. De même,
grab{ al 5a = 0) est monogène engendré par un élément d'ordre 5, il est isomorphe
à Z/5. Enfin, K = grab{ a, b 1 5a = 0, 1b = 0) contient le sous-groupe engendré
par a, d'ordre 5, le sous-groupe engendré par b, d'ordre 7. Ces deux groupes sont
normaux, puisque K est abélien, ils commutent et leur intersection est nulle, K est
isomorphe au produit direct Z/5 x Z/7 '2!t Z/35. Remarquons le contraste avec le cas
non commutatif, où le groupe de présentation
K' = ( a , b I a
5
= b
1
= 1)
est infini.
c) i) On remarque que
p"x,. - xo = p"- 1 (px 11 - X11 - 1 ) + p"2
(p X11- I - X11 -
2 )
+ ... + (px, - xo)
=
'("'ll - 1 ; (p
)
u i =O p X ; + I - X;
et S2 < S 3 . L'inclusion est stricte car px 2 - x,
alors, par identification dans le groupe libre engendré par les x;, p = m 2 p
2
et -1 =
m 1 p, m 1 et m 2 sont nuls, de même que tous les autres coefficients.
De la même façon, S 1 < S2 puisque :
p
11+ 1
x 11 = p(p 11 x 11 - xo ) + pxo
et l'inclusion est bien stricte car px 1 - x 0 n'est pas dans le groupe engendré par les
p
k+ I
x k , voir le coefficient de xo.
Des inclusions S 1 < S2 < S 3 , on déduit, par le théorème de Von Dyck, qu'il existe
des morphismes surjectifs de G 3 sur G2 et de G2 sur G 1 , donc que G 3 est isomorphe
à un quotient de G2 et G2 est isomorphe à un quotient de G 1 •
ii) Dans le cas du groupe G 1 , chaque relation ne concerne qu'un générateur, et le
groupe des relations peut donc s'écrire :
S 1 = Zpxo EB Zp
2
x, EB ... EB Zp'r
+ 1 x 11 EB ...
et donc le quotient du groupe commutatif libre engendré par ces relations est
G 1 = Z/p EB Z/p
2
EB ... EB Z/p
11+1
EB ...
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