Solutions des problèmes
185
On a appliqué la formule du double produit vectoriel que l'on trouve dans tous les livres
de géométrie. Comme q est un quaternion pur, on peut poser a = cos e et u = sin 6v où
v est un vecteur unitaire. On obtient :
q z q -
1
= (cos 26)z + (l - cos 26)(vlz)v + (sin 26)v /\ z
dont on vérifie qu'il correspond à l'image de z par la rotation d'axe orienté par v et
d'angle 26. Voir, par exemple, [25]. Notre calcul prouve également la surjectivité.
Chercher le noyau, revient à chercher le centralisateur des éléments de JE. Or, le calcul
montre que le centralisateur de i est Vect( 1, i) et, de même, pour j et k. Le centralisateur
de JE tout entier est formé des réels, ce qui donne deux quaternions purs ± 1, toute
rotation correspond à deux quaternions unitaires opposés, soit deux points antipodaux
sur la sphère S
3
. On a donc une suite exacte :
g) Cette suite exacte n'est pas scindée ; en effet, si l'on considère i E S
3
, son image est un
demi-tour, celui d'axe Vect(i), d'ordre 2. Il ne peut être« relevé» dans S
3
que par i ou
-i qui sont d'ordre quatre, il n'existe donc pas de section.
3) Le groupe des isométries
a) On a encore une suite exacte
et cette suite est scindée, un relèvement s'obtient avec une involution de déterminant
négatif, par exemple une réflexion :
/(&) = r(&) >4 Z/2
On peut vérifier qu'on ne peut obtenir un produit direct dès la dimension 2.
b) Cette fois la suite exacte s'écrit :
C'est encore une suite exacte, comme dans le cas du groupe affine ; un relèvement est
constitué de l'ensemble des isométries qui conservent un point donné. Le groupe des
translations est également normal dans le groupe des isométries tout entier.
c) Soit G un groupe fini d'isométries. Si A est un point quelconque, l'orbite de A sous
l'action de G est un ensemble fini de points, stable par tout élément g de G. Mais
alors, l'isobarycentre des points de cet ensemble est stable par g; les éléments de G
ont (au moins) un point invariant commun. L'étude des sous-groupes finis de /(&) est
ainsi ramenée à l'étude des sous-groupes finis de O(JE). En dimension 2, on a donc les
groupes diédraux qui sont les groupes d'isométries conservant un polygone régulier et
les groupes cycliques, qu'on peut voir comme les groupes d'isométries conservant un
polygone régulier avec des côtés orientés (dans le même sens).
www.bibliomath.com
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On a appliqué la formule du double produit vectoriel que l'on trouve dans tous les livres
de géométrie. Comme q est un quaternion pur, on peut poser a = cos e et u = sin 6v où
v est un vecteur unitaire. On obtient :
q z q -
1
= (cos 26)z + (l - cos 26)(vlz)v + (sin 26)v /\ z
dont on vérifie qu'il correspond à l'image de z par la rotation d'axe orienté par v et
d'angle 26. Voir, par exemple, [25]. Notre calcul prouve également la surjectivité.
Chercher le noyau, revient à chercher le centralisateur des éléments de JE. Or, le calcul
montre que le centralisateur de i est Vect( 1, i) et, de même, pour j et k. Le centralisateur
de JE tout entier est formé des réels, ce qui donne deux quaternions purs ± 1, toute
rotation correspond à deux quaternions unitaires opposés, soit deux points antipodaux
sur la sphère S
3
. On a donc une suite exacte :
g) Cette suite exacte n'est pas scindée ; en effet, si l'on considère i E S
3
, son image est un
demi-tour, celui d'axe Vect(i), d'ordre 2. Il ne peut être« relevé» dans S
3
que par i ou
-i qui sont d'ordre quatre, il n'existe donc pas de section.
3) Le groupe des isométries
a) On a encore une suite exacte
et cette suite est scindée, un relèvement s'obtient avec une involution de déterminant
négatif, par exemple une réflexion :
/(&) = r(&) >4 Z/2
On peut vérifier qu'on ne peut obtenir un produit direct dès la dimension 2.
b) Cette fois la suite exacte s'écrit :
C'est encore une suite exacte, comme dans le cas du groupe affine ; un relèvement est
constitué de l'ensemble des isométries qui conservent un point donné. Le groupe des
translations est également normal dans le groupe des isométries tout entier.
c) Soit G un groupe fini d'isométries. Si A est un point quelconque, l'orbite de A sous
l'action de G est un ensemble fini de points, stable par tout élément g de G. Mais
alors, l'isobarycentre des points de cet ensemble est stable par g; les éléments de G
ont (au moins) un point invariant commun. L'étude des sous-groupes finis de /(&) est
ainsi ramenée à l'étude des sous-groupes finis de O(JE). En dimension 2, on a donc les
groupes diédraux qui sont les groupes d'isométries conservant un polygone régulier et
les groupes cycliques, qu'on peut voir comme les groupes d'isométries conservant un
polygone régulier avec des côtés orientés (dans le même sens).
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