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Théorie des groupes
Conclusion. Les sous-groupes finis de S0(2, JR.) sont les groupes cycliques Z/n.
Les groupes finis de 0(2, JR.) sont d'abord ceux qu'on vient de décrire, les groupes
cycliques qui sont inclus dans le groupe spécial orthogonal. Soit G un sous-groupe
fini quelconque du groupe orthogonal, mais qui n'est pas inclus dans le groupe spécial
orthogonal. Alors G
+
= G n S0(2, JR.) est cyclique d'ordre n, et la restriction de la suite
exacte ci-dessus s'écrit :
id-G
+
�G�{ +l,- 1}-I
Mais cette suite exacte est scindée puisque tous les éléments de G \ G
+
sont des involutions et permettent de faire un relèvement. De plus, le groupe des rotations est cyclique,
l'action est donnée par s or o s1
= r1
, on reconnaît le groupe diédral 1[) 2 ,, .
e) L'ensemble des quaternions unitaires est un groupe puisque lqq' I = lqllq' I et lq1
I =
lql1
, en notant lql la norme d'un quaternion définie par:
lql = J a 2 + � 2 + 'Y 2 + 8 2 = J{jq
Le groupe des quaternions unitaires contient bien sûr le groupe quaternionique IH[ g .
Nous le noterons S
3
car il est en bijection avec la sphère S
3
c JR.
4
qui est donc munie
ainsi d'une structure de groupe. Dans sa version matricielle, on le note SU(2)
1
• Remarquons enfin que q est unitaire ssi q1
= q.
f) Un quaternion pur est caractérisé par z = -z. On voit donc que si z E JE, alors
qzq- 1 = q- 1:z q = -qzq- 1
et qzq- 1 est dans JE. De plus, z 1--+ qzq- 1 est JR.-linéaire.
lqzq- 1
1
2
= q- 1 zqqzq- 1 = qlzl
2
q- 1 = lzl
2
puisque lzl
2
réel commute avec q; et (q) est une isométrie, car la norme d'un quaternion pur correspond bien à la norme dans l'espace euclidien JE tel que nous l'avons
défini. Reste à montrer que l'on arrive dans le groupe des rotations. Pour cela, on peut
commencer par remarquer que le produit de deux quaternions purs s'écrit:
zz' = -(zlz') + z /\ z'
et qu'un quaternion unitaire peut s'écrire q =a+ u où a est réel, u un quaternion pur.
On a alors:
qzq- 1 = (a+ u)z( a - u)
= a
2
z + a(uz - zu) - uzu
= ( a
2
- (ulu))z - 2a (u /\ z) + 2(zlu)u
où on a utilisé la formule précédente ainsi que les propriétés du produit vectoriel. Détaillons quand même le calcul de uzu
uzu = (- (ulz) + u /\ z)u
= -(ulz) u + (u /\ z) /\ u
= -(ulz) u + (ulu)z - (ulz)u
= -2(ulz)u + (ulu)z
(
a
_ b
a
)
1. Groupe spécial unitaire formé des matrices unitaires de déterminant 1. Ces matrices s'écrivent -b
où lal
2 + 1h1
2 = 1, voir 2.3.3.
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