Solutions des problèmes
plus dans le cas de IF q , mais le même argument montre que :
Hol(IF p'" ) 9t GA (m, IF p )
2) Le groupe orthogonal
a) Une matrice orthogonale est inversible (puisque d'inverse sa transposée). De plus,
(OO')'(OO') = 00'
1
0"0 = I et 011
01
= 1
montrent que l'ensemble des matrices orthogonales est bien un groupe.
183
En dimension 1, O(n, IR.) = { + 1, -1} et en dimension 2, le groupe orthogonal est constitué des matrices de la forme :
( : - }) ou ( : !
a ) avec a
2
+b
2
= 1
b) La formule
1
00 = I prouve que det(0)
2
= 1, puisque det('O) = det(O). Il existe des
matrices orthogonales de déterminant 1 et de déterminant -1 (penser à des matrices
diagonales) ; on en déduit qu'il y a une suite exacte :
id-SO(n, JR.)__i__,..O(n, IR.)� {+ 1, -1 }-1
Le groupe spécial orthogonal est un noyau, donc normal dans le groupe orthogonal ;
c'est le groupe des matrices orthogonales de déterminant + l, qu'on appelle aussi matrices orthogonales directes. Pour voir si la suite exacte est scindée, il faut trouver un
relèvement, donc un sous-groupe du groupe orthogonal d'ordre 2, contenant l'identité
et une involution de déterminant -1, il suffit de prendre par exemple la matrice d'une
réflexion. Le produit sera direct s'il existe un relèvement normal ; mais cela n'est possible que si l'involution est dans le centre du groupe orthogonal. Il en résulte que seule
-/ convient, et elle ne sera de déterminant -1 qu'en dimension impaire, seul cas où le
groupe orthogonal est produit direct du groupe spécial orthogonal et de Z/2.
c) Un simple calcul de produit de matrices montre que S0(2, IR.) est commutatif. On a
d'ailleurs les isomorphismes :
S0(2, IR.) 9t lU 9t JR./21rZ 9t A
où lU est le groupe (multiplicatif) des nombres complexes de module 1, et A le groupe
(additif) des angles orientés de vecteurs. Les éléments de S0(2, IR.) sont appelés rotations, on peut leur associer bijectivement un angle.
Une autre méthode maintenant, on vérifie que les matrices de la forme ( : !
a ) avec
a
2
+ b
2
= 1 sont involutives. Soit rune rotation, et s une involution. Alors r os = s' d'où
r = s' os; toute rotation est produit de deux involutions dont l'une est arbitraire. On en
déduit s or o s1
= s o (r o s) = s os'= ,1
, puis
p or o p1
= O' o 0'
1
or o 0'
1
o O' = r
qui montre à nouveau que deux rotations commutent. On « comprend » également
pourquoi ce phénomène ne se poursuit pas, dès la dimension 3, il n'y a pas que des
involutions dans O(n, IR.) \ SO(n, IR.).
d) Les sous-groupes finis de S0(2, IR.) peuvent être déterminés de la façon suivante. Un
sous-groupe d'ordre na des éléments x qui vérifient tous x' = 1. Ils sont tous dans le
groupe des racines n-ièmes de l'unité qui est cyclique d'ordre n.
www.bibliomath.com
plus dans le cas de IF q , mais le même argument montre que :
Hol(IF p'" ) 9t GA (m, IF p )
2) Le groupe orthogonal
a) Une matrice orthogonale est inversible (puisque d'inverse sa transposée). De plus,
(OO')'(OO') = 00'
1
0"0 = I et 011
01
= 1
montrent que l'ensemble des matrices orthogonales est bien un groupe.
183
En dimension 1, O(n, IR.) = { + 1, -1} et en dimension 2, le groupe orthogonal est constitué des matrices de la forme :
( : - }) ou ( : !
a ) avec a
2
+b
2
= 1
b) La formule
1
00 = I prouve que det(0)
2
= 1, puisque det('O) = det(O). Il existe des
matrices orthogonales de déterminant 1 et de déterminant -1 (penser à des matrices
diagonales) ; on en déduit qu'il y a une suite exacte :
id-SO(n, JR.)__i__,..O(n, IR.)� {+ 1, -1 }-1
Le groupe spécial orthogonal est un noyau, donc normal dans le groupe orthogonal ;
c'est le groupe des matrices orthogonales de déterminant + l, qu'on appelle aussi matrices orthogonales directes. Pour voir si la suite exacte est scindée, il faut trouver un
relèvement, donc un sous-groupe du groupe orthogonal d'ordre 2, contenant l'identité
et une involution de déterminant -1, il suffit de prendre par exemple la matrice d'une
réflexion. Le produit sera direct s'il existe un relèvement normal ; mais cela n'est possible que si l'involution est dans le centre du groupe orthogonal. Il en résulte que seule
-/ convient, et elle ne sera de déterminant -1 qu'en dimension impaire, seul cas où le
groupe orthogonal est produit direct du groupe spécial orthogonal et de Z/2.
c) Un simple calcul de produit de matrices montre que S0(2, IR.) est commutatif. On a
d'ailleurs les isomorphismes :
S0(2, IR.) 9t lU 9t JR./21rZ 9t A
où lU est le groupe (multiplicatif) des nombres complexes de module 1, et A le groupe
(additif) des angles orientés de vecteurs. Les éléments de S0(2, IR.) sont appelés rotations, on peut leur associer bijectivement un angle.
Une autre méthode maintenant, on vérifie que les matrices de la forme ( : !
a ) avec
a
2
+ b
2
= 1 sont involutives. Soit rune rotation, et s une involution. Alors r os = s' d'où
r = s' os; toute rotation est produit de deux involutions dont l'une est arbitraire. On en
déduit s or o s1
= s o (r o s) = s os'= ,1
, puis
p or o p1
= O' o 0'
1
or o 0'
1
o O' = r
qui montre à nouveau que deux rotations commutent. On « comprend » également
pourquoi ce phénomène ne se poursuit pas, dès la dimension 3, il n'y a pas que des
involutions dans O(n, IR.) \ SO(n, IR.).
d) Les sous-groupes finis de S0(2, IR.) peuvent être déterminés de la façon suivante. Un
sous-groupe d'ordre na des éléments x qui vérifient tous x' = 1. Ils sont tous dans le
groupe des racines n-ièmes de l'unité qui est cyclique d'ordre n.
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