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Théorie des groupes
où l'action est l'action naturelle du groupe linéaire sur l'espace vectoriel, comme le
montre le calcul ci-dessus.
c) Écrivons :
M = (� f )
où U est la matrice colonne du vecteur 00
1
, et O désigne une matrice ligne formée de
O. Alors, le produit matriciel X' = MX se ramène au système :
donnant les expressions analytiques d'une application affine. De plus, la matrice du
composé de deux applications affines est le produit des matrices de chaque application
affine, puisque :
MM ' = (
M U ) (
M' U' )
_ (
MM' U + M U' )
01
0
1 -
0
1
où on retrouve les formules du produit semi-direct vues ci-dessus. On constate ainsi
que le groupe affine de dimension n se plonge dans le groupe linéaire de dimension
n + 1, ce qui se comprend très bien quand on fait un peu de géométrie projective.
d) Rappelant que le groupe des homothéties-translations est la réunion du groupe des
translations et de l'ensemble des homothéties, on est conduit par les mêmes observations que ci-dessus, à la suite exacte :
id-T(E)__!__.1i'T(E)�H<.*-id
où r est le morphisme qui, à une homothétie, associe son rapport (et à une translation
associe 1). Cette suite exacte est scindée, un relèvement étant le groupe des homothéties
de même centre. Le groupe des homothéties-translations peut donc s'écrire comme
produit semi-direct :
ri'T(E) = JE � Il<.*
e) Lorsque le corps de base Il<. est un corps fini, les groupes affines sont finis. En dimension
un, ils sont engendrés par la translation de l, et l'homothétie de centre O et rapport r où
r est un générateur de Il<.*. On trouve donc la présentation
GA (l, lF q ) = ( a , b I a q = b q - l = 1, bab -
1
= a
r
)
Pour q = 2, 3, 4, 5, on retrouve les groupes 8 2 , 8 3 , � = (Z/2)
2
� Z/3. Dans le dernier cas, par exemple, il y a quatre translations qui forment un groupe de Klein et
qui échangent les quatre points par doubles transpositions. Les homothéties sont, elles,
d'ordre trois: Le groupe affine de JF 5 est un groupe métacyclique à 20 éléments. C'est
un sous-groupe de 8 5 .
En dimension deux, lorsque q est un nombre premier, les groupes affines GA (2, lF q ) ont
q 2 (q
2
- l)(q
2
- q) éléments et ainsi de suite. Ainsi GA (2, lF 2 ) a 24 éléments. Comme
c'est un sous-groupe de 8 4 , il coïncide avec 8 4 .
On a déjà observé que le groupe des automorphismes du groupe (Z/p)" coïncide avec le
groupe linéaire de ce groupe, considéré comme espace vectoriel ; le produit semi-direct
qu'est le groupe affine coïncide donc avec l'holomorphe de (Z/p)". Cela ne marche
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
où l'action est l'action naturelle du groupe linéaire sur l'espace vectoriel, comme le
montre le calcul ci-dessus.
c) Écrivons :
M = (� f )
où U est la matrice colonne du vecteur 00
1
, et O désigne une matrice ligne formée de
O. Alors, le produit matriciel X' = MX se ramène au système :
donnant les expressions analytiques d'une application affine. De plus, la matrice du
composé de deux applications affines est le produit des matrices de chaque application
affine, puisque :
MM ' = (
M U ) (
M' U' )
_ (
MM' U + M U' )
01
0
1 -
0
1
où on retrouve les formules du produit semi-direct vues ci-dessus. On constate ainsi
que le groupe affine de dimension n se plonge dans le groupe linéaire de dimension
n + 1, ce qui se comprend très bien quand on fait un peu de géométrie projective.
d) Rappelant que le groupe des homothéties-translations est la réunion du groupe des
translations et de l'ensemble des homothéties, on est conduit par les mêmes observations que ci-dessus, à la suite exacte :
id-T(E)__!__.1i'T(E)�H<.*-id
où r est le morphisme qui, à une homothétie, associe son rapport (et à une translation
associe 1). Cette suite exacte est scindée, un relèvement étant le groupe des homothéties
de même centre. Le groupe des homothéties-translations peut donc s'écrire comme
produit semi-direct :
ri'T(E) = JE � Il<.*
e) Lorsque le corps de base Il<. est un corps fini, les groupes affines sont finis. En dimension
un, ils sont engendrés par la translation de l, et l'homothétie de centre O et rapport r où
r est un générateur de Il<.*. On trouve donc la présentation
GA (l, lF q ) = ( a , b I a q = b q - l = 1, bab -
1
= a
r
)
Pour q = 2, 3, 4, 5, on retrouve les groupes 8 2 , 8 3 , � = (Z/2)
2
� Z/3. Dans le dernier cas, par exemple, il y a quatre translations qui forment un groupe de Klein et
qui échangent les quatre points par doubles transpositions. Les homothéties sont, elles,
d'ordre trois: Le groupe affine de JF 5 est un groupe métacyclique à 20 éléments. C'est
un sous-groupe de 8 5 .
En dimension deux, lorsque q est un nombre premier, les groupes affines GA (2, lF q ) ont
q 2 (q
2
- l)(q
2
- q) éléments et ainsi de suite. Ainsi GA (2, lF 2 ) a 24 éléments. Comme
c'est un sous-groupe de 8 4 , il coïncide avec 8 4 .
On a déjà observé que le groupe des automorphismes du groupe (Z/p)" coïncide avec le
groupe linéaire de ce groupe, considéré comme espace vectoriel ; le produit semi-direct
qu'est le groupe affine coïncide donc avec l'holomorphe de (Z/p)". Cela ne marche
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