Solutions des problèmes
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d) Cette fois, PGL(2, !Fs) agit fidèlement et transitivement sur un ensemble de 6 droites,
donc est isomorphe à un sous-groupe de S 6 , Comme il est de cardinal 120, c'est un
sous-groupe d'indice 6, dont on sait qu'il est isomorphe à S 5 . On a donc:
PGL(2, IFs) 9:! Ss
Enfin, PSL(2, IF 5 ) s'identifiant à un sous-groupe du précédent et étant de cardinal 60 est
isomorphe à A 5 • Remarquons que ce sous-groupe n'est pas le stabilisateur d'un point
puisqu'il agit transitivement sur l'ensemble des six droites.
e) Le cardinal de GL(n, 1F p ) est:
Il
(p " - l)(p " - P> ... (p " - p "- l > = p "<"2 ' > II (p
i
- 1)
i= l
on en déduit qu'un p-Sylow a p , 1 ( , ,2
1 )
éléments. Or, le groupe TV(n, 1F p ) a exactement
ce nombre d'éléments, il suffit de compter les cases libres dans une matrice, sachant
qu'elle est triangulaire supérieure et que la diagonale est remplie de 1. En utilisant le
fait que le normalisateur de ce groupe est T(n, 1F p ), on peut compter les p-Sylow:
11:�1 (p
i
- 1)
(p - 1)"
Ainsi, dans le cas de GL (2, IF 3 ) , il y a quatre 3-Sylow.
3.5.2 Produits semi-directs en géométrie
1) Le groupe affine
a) L'application dir qui, à toute application affine/, associe sa direction f a pour noyau
l'ensemble des translations. Les translations forment donc un sous-groupe normal dans
le groupe affine et l'on a la suite exacte :
id-T(&)�GA(&)�GL(JE)-id
puisque l'application dir est surjective.
b) Il faut trouver un relèvement du groupe linéaire dans le groupe affine; choisissant un
point A, l'ensemble des applications affines fixant A convient, on le note GAA (&). On a
donc un produit semi-direct :
GA (&)= T(& ) ><1 GA A (&)
La décomposition d'une application affine/ s'écrit alors:
f = tï{ 0 g
-
où ,1 est le vecteur Af ( A) et où g fixe A, en ayant la même direction que f. La composition des applications affines se fait suivant la règle :
f f i
/
(
-()
I
I
0
= t ïl O g O t ;;:
0 g = tï{ 0 g O t ;;:
0 g
O g O g = t ïl O t
-; ( ïl ' )
0 g O g
Enfin, comme le groupe des translations est isomorphe à l'espace vectoriel JE ( en tant
que groupe additif), on peut donner une vision « externe » de ce produit semi-direct :
GA (&) = JE ><1 GL(JE)
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d) Cette fois, PGL(2, !Fs) agit fidèlement et transitivement sur un ensemble de 6 droites,
donc est isomorphe à un sous-groupe de S 6 , Comme il est de cardinal 120, c'est un
sous-groupe d'indice 6, dont on sait qu'il est isomorphe à S 5 . On a donc:
PGL(2, IFs) 9:! Ss
Enfin, PSL(2, IF 5 ) s'identifiant à un sous-groupe du précédent et étant de cardinal 60 est
isomorphe à A 5 • Remarquons que ce sous-groupe n'est pas le stabilisateur d'un point
puisqu'il agit transitivement sur l'ensemble des six droites.
e) Le cardinal de GL(n, 1F p ) est:
Il
(p " - l)(p " - P> ... (p " - p "- l > = p "<"2 ' > II (p
i
- 1)
i= l
on en déduit qu'un p-Sylow a p , 1 ( , ,2
1 )
éléments. Or, le groupe TV(n, 1F p ) a exactement
ce nombre d'éléments, il suffit de compter les cases libres dans une matrice, sachant
qu'elle est triangulaire supérieure et que la diagonale est remplie de 1. En utilisant le
fait que le normalisateur de ce groupe est T(n, 1F p ), on peut compter les p-Sylow:
11:�1 (p
i
- 1)
(p - 1)"
Ainsi, dans le cas de GL (2, IF 3 ) , il y a quatre 3-Sylow.
3.5.2 Produits semi-directs en géométrie
1) Le groupe affine
a) L'application dir qui, à toute application affine/, associe sa direction f a pour noyau
l'ensemble des translations. Les translations forment donc un sous-groupe normal dans
le groupe affine et l'on a la suite exacte :
id-T(&)�GA(&)�GL(JE)-id
puisque l'application dir est surjective.
b) Il faut trouver un relèvement du groupe linéaire dans le groupe affine; choisissant un
point A, l'ensemble des applications affines fixant A convient, on le note GAA (&). On a
donc un produit semi-direct :
GA (&)= T(& ) ><1 GA A (&)
La décomposition d'une application affine/ s'écrit alors:
f = tï{ 0 g
-
où ,1 est le vecteur Af ( A) et où g fixe A, en ayant la même direction que f. La composition des applications affines se fait suivant la règle :
f f i
/
(
-()
I
I
0
= t ïl O g O t ;;:
0 g = tï{ 0 g O t ;;:
0 g
O g O g = t ïl O t
-; ( ïl ' )
0 g O g
Enfin, comme le groupe des translations est isomorphe à l'espace vectoriel JE ( en tant
que groupe additif), on peut donner une vision « externe » de ce produit semi-direct :
GA (&) = JE ><1 GL(JE)
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