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Théorie des groupes
f) La première chose qu'on peut dire de ce groupe, est qu'il est d'ordre 168 = 2
3
x 3 x 7 ...
Nous verrons plus tard que c'est un groupe simple, mais on peut commencer par dire :
- qu'agissant fidèlement sur JP>
2
(1F 2 ) qui a 7 éléments, c'est un sous-groupe de S1.
- Un 2-Sylow a huit éléments. Donc un 2-Sylow particulier sera le groupe des matrices
triangulaires supérieures T(3, 2) (qui coïncide d'ailleurs avec TU(3, 2)).
- On peut déterminer le nombre des 2-Sylow en calculant le normalisateur de ce 2Sylow particulier, on voit facilement qu'il vaut encore T(3, 2) d'indice 21 ; il y a
vingt-et-un 2-Sylow. Il est possible de le voir géométriquement, en observant que
notre 2-Sylow est le stabilisateur d'une paire de points du plan projectif, qu'il y a 21
paires de points, et que le groupe agit transitivement sur les paires de points.
3) Autres cas particuliers. GL(2, IF 3 ), GL(2, IF 4 ), GL(2, IF5)
a) Dans le plan vectoriel (IF 3 )
2
, il y a quatre droites, puisque tout vecteur non nul (il y
en a huit) engendre une droite et chaque droite contient deux vecteurs non nuls. En
général, le même raisonnement montre que (1F q )
2
contient q + I droites, donc JP>
1
(1F q ) a
q + I éléments. Le groupe GL(2, IF 3 ) agit sur l'ensemble des quatre droites, le noyau de
l'action est formé des homothéties, PGL(2, IF 3 ) agit donc fidèlement et s'identifie à un
sous-groupe de S 4 • Mais comme il a même cardinal, il est isomorphe à S 4
b) SL(2, IF 3 ) a même cardinal que PGL(2, IF 3 ) et pourtant ces deux groupes ne sont pas
isomorphes. SL(2, IF 3 ) agit transitivement sur l'ensemble des quatre droites, et le noyau
est formé des matrices I et -I, les deux homothéties qui sont de déterminant 1. L'image
de l'action est le seul sous-groupe d'indice 2 de S4, donc Ai. On a alors une suite
exacte :
•
cl>
e-Z/2__!,..SL(2, IF 3 )-Ai-e
et l'on en déduit l'isomorphisme :
Quant à SL(2, IF 3 ), il n'est pas isomorphe à S 4 , ne serait-ce que parce que son centre est
non trivial (c'est ±!), c'est le groupe binaire tétraédral que nous retrouverons dans
un des problèmes du dernier chapitre, et que nous avons déjà rencontré dans l'exercice
2.2.14
c) PGL(2, IF 4 ) agit fidèlement et transitivement sur l'ensemble des 5 droites de (IF 4 )
2
;
comme son cardinal est 60, il est isomorphe au seul groupe d'indice 2 de S 5 , c'est-àdire A5 :
PGL(2, IF 4) '?! A5
Dans le corps IF 4 , la seule solution de x
2
= I est 1, donc le centre de SL(2, IF 4 ) est
trivial ; comme PSL(2, IF 4 ) agit fidèlement sur l'ensemble des 5 droites, on a les isomorphismes :
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
f) La première chose qu'on peut dire de ce groupe, est qu'il est d'ordre 168 = 2
3
x 3 x 7 ...
Nous verrons plus tard que c'est un groupe simple, mais on peut commencer par dire :
- qu'agissant fidèlement sur JP>
2
(1F 2 ) qui a 7 éléments, c'est un sous-groupe de S1.
- Un 2-Sylow a huit éléments. Donc un 2-Sylow particulier sera le groupe des matrices
triangulaires supérieures T(3, 2) (qui coïncide d'ailleurs avec TU(3, 2)).
- On peut déterminer le nombre des 2-Sylow en calculant le normalisateur de ce 2Sylow particulier, on voit facilement qu'il vaut encore T(3, 2) d'indice 21 ; il y a
vingt-et-un 2-Sylow. Il est possible de le voir géométriquement, en observant que
notre 2-Sylow est le stabilisateur d'une paire de points du plan projectif, qu'il y a 21
paires de points, et que le groupe agit transitivement sur les paires de points.
3) Autres cas particuliers. GL(2, IF 3 ), GL(2, IF 4 ), GL(2, IF5)
a) Dans le plan vectoriel (IF 3 )
2
, il y a quatre droites, puisque tout vecteur non nul (il y
en a huit) engendre une droite et chaque droite contient deux vecteurs non nuls. En
général, le même raisonnement montre que (1F q )
2
contient q + I droites, donc JP>
1
(1F q ) a
q + I éléments. Le groupe GL(2, IF 3 ) agit sur l'ensemble des quatre droites, le noyau de
l'action est formé des homothéties, PGL(2, IF 3 ) agit donc fidèlement et s'identifie à un
sous-groupe de S 4 • Mais comme il a même cardinal, il est isomorphe à S 4
b) SL(2, IF 3 ) a même cardinal que PGL(2, IF 3 ) et pourtant ces deux groupes ne sont pas
isomorphes. SL(2, IF 3 ) agit transitivement sur l'ensemble des quatre droites, et le noyau
est formé des matrices I et -I, les deux homothéties qui sont de déterminant 1. L'image
de l'action est le seul sous-groupe d'indice 2 de S4, donc Ai. On a alors une suite
exacte :
•
cl>
e-Z/2__!,..SL(2, IF 3 )-Ai-e
et l'on en déduit l'isomorphisme :
Quant à SL(2, IF 3 ), il n'est pas isomorphe à S 4 , ne serait-ce que parce que son centre est
non trivial (c'est ±!), c'est le groupe binaire tétraédral que nous retrouverons dans
un des problèmes du dernier chapitre, et que nous avons déjà rencontré dans l'exercice
2.2.14
c) PGL(2, IF 4 ) agit fidèlement et transitivement sur l'ensemble des 5 droites de (IF 4 )
2
;
comme son cardinal est 60, il est isomorphe au seul groupe d'indice 2 de S 5 , c'est-àdire A5 :
PGL(2, IF 4) '?! A5
Dans le corps IF 4 , la seule solution de x
2
= I est 1, donc le centre de SL(2, IF 4 ) est
trivial ; comme PSL(2, IF 4 ) agit fidèlement sur l'ensemble des 5 droites, on a les isomorphismes :
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