Solutions des problèmes
179
Enfin, comme SL(n, OC) est d'indice q - 1, il a même cardinal.
b) x E OC* vérifie x' = 1 s'il est dans le groupe cyclique OC* d'ordre q - 1, et si son
ordre divise n. Si d = n A (q - 1), on a x:' = 1 (puisque d est combinaison de n et de
q - 1), et tout x vérifiant x:' = 1 est aussi solution de x' = 1. L'étude des sous-groupes
des groupes cycliques nous a montré qu'il y a exactement d solutions. Le centre de
SL(n, OC) est formé des homothéties de rapport x vérifiant x' = 1. On en déduit que :
IPSL( OC)I =
(q" - l)(q" - q) ... (q" - q"- I )
n,
(q - l)d
c) • Pour n = 2, on obtient la table suivante ( en indexant les colonnes par le cardinal du
corps):
11 2 3 4
5 11
8
IGL I
6 48 180 480 2016 3528
IPGL I = ISLI 6 24 60 120 336 504
IPSLI
6 12 60 60
168
504
• Pour n = 3
*
3
IGL I
168 11232
IPGL I = ISLI 168 5616
IPSLI
168 5616
• Pour n = 4, contentons-nous de :
IPSL(4,IF 2 )I = 20 160
On constate quelques coïncidences,
IPSL(2, IF4)i = IPSL(2, IFs)I
IPSL(3, IF 2 )I = IPSL(2, IF1)I
IPSL(3,IF4)i = IPSL(4,IF2 )I
4
181 440
60 480
20 160
9
5760
720
360
À part dans le dernier cas, ces égalités correspondent à des groupes isomorphes.
d) On se place donc dans le cas du corps IF 2 = {O, 1} à deux éléments, le seul élément
non nul étant 1, une matrice est inversible ssi son déterminant est 1. De plus, la seule
homothétie est l'identité, d'où :
GL (n, IF 2 ) '2t SL(n, IF i ) '2t PGL(n, IF i ) '2t PSL(n, IF 2 )
e) Il y a 2
2
- 1 = 3 vecteurs non nuls dans ce plan, et ils sont non colinéaires. On en déduit
que PSL(2, IF2) agit sur un ensemble de trois éléments. Mais cette action est fidèle,
donc PSL(2, IF 2 ) s'identifie à un sous-groupe de S 3 • Comme il a même cardinal, il est
isomorphe à S 3 ; pour concrétiser cet isomorphisme, il faut choisir un ordre dans les
trois droites, par exemple Vect( e 1 ), Ve ct( e i ), Vect( e 1 +e 2 ) et l'image de la transposition
(1, 2) sera la matrice ( � �) . tandis que la permutation (1, 2, 3) correspondra à la
matrice ( � D. On a donc l'isomorphisme:
PGL(2, IF 2 ) '2t § 3
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Enfin, comme SL(n, OC) est d'indice q - 1, il a même cardinal.
b) x E OC* vérifie x' = 1 s'il est dans le groupe cyclique OC* d'ordre q - 1, et si son
ordre divise n. Si d = n A (q - 1), on a x:' = 1 (puisque d est combinaison de n et de
q - 1), et tout x vérifiant x:' = 1 est aussi solution de x' = 1. L'étude des sous-groupes
des groupes cycliques nous a montré qu'il y a exactement d solutions. Le centre de
SL(n, OC) est formé des homothéties de rapport x vérifiant x' = 1. On en déduit que :
IPSL( OC)I =
(q" - l)(q" - q) ... (q" - q"- I )
n,
(q - l)d
c) • Pour n = 2, on obtient la table suivante ( en indexant les colonnes par le cardinal du
corps):
11 2 3 4
5 11
8
IGL I
6 48 180 480 2016 3528
IPGL I = ISLI 6 24 60 120 336 504
IPSLI
6 12 60 60
168
504
• Pour n = 3
*
3
IGL I
168 11232
IPGL I = ISLI 168 5616
IPSLI
168 5616
• Pour n = 4, contentons-nous de :
IPSL(4,IF 2 )I = 20 160
On constate quelques coïncidences,
IPSL(2, IF4)i = IPSL(2, IFs)I
IPSL(3, IF 2 )I = IPSL(2, IF1)I
IPSL(3,IF4)i = IPSL(4,IF2 )I
4
181 440
60 480
20 160
9
5760
720
360
À part dans le dernier cas, ces égalités correspondent à des groupes isomorphes.
d) On se place donc dans le cas du corps IF 2 = {O, 1} à deux éléments, le seul élément
non nul étant 1, une matrice est inversible ssi son déterminant est 1. De plus, la seule
homothétie est l'identité, d'où :
GL (n, IF 2 ) '2t SL(n, IF i ) '2t PGL(n, IF i ) '2t PSL(n, IF 2 )
e) Il y a 2
2
- 1 = 3 vecteurs non nuls dans ce plan, et ils sont non colinéaires. On en déduit
que PSL(2, IF2) agit sur un ensemble de trois éléments. Mais cette action est fidèle,
donc PSL(2, IF 2 ) s'identifie à un sous-groupe de S 3 • Comme il a même cardinal, il est
isomorphe à S 3 ; pour concrétiser cet isomorphisme, il faut choisir un ordre dans les
trois droites, par exemple Vect( e 1 ), Ve ct( e i ), Vect( e 1 +e 2 ) et l'image de la transposition
(1, 2) sera la matrice ( � �) . tandis que la permutation (1, 2, 3) correspondra à la
matrice ( � D. On a donc l'isomorphisme:
PGL(2, IF 2 ) '2t § 3
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