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Th éorie des groupes
avec k parcourant Il{*. Ces matrices forment bien un sous-groupe isomorphe à OC* et
l'application s qui à k associe la matrice correspondante est bien une section, puisque
le déterminant d'une de ces matrices est k.
Remarque : Il arrive qu'on puisse choisir un relèvement tel que le produit soit direct ; il suffit pour cela de trouver une section à valeur dans le centre de SL(n, OC).
On associera à k la matrice scalaire dont tous les éléments diagonaux sont égaux
à une des racines n-ièmes de k. Cela fonctionnera donc, en dimension impaire,
pour le corps des réels, tout le temps pour le corps des complexes.
c) L' étude a été faite dans le premier problème. On trouve donc que le centre est formé
des matrices scalaires qui sont dans SL(n, OC), c'est-à-dire qui sont de la forme A/ 11 , où
À" = 1.
d) Soit A = (a;j ) une matrice de GL(n, OC) dont la classe A est dans le centre de PGL(n, OC).
Alors, pour toute matrice B inversible, AB = BA soit AB = ÀBA pour un certain scalaire
À (qui dépend de B a priori). En prenant pour B une matrice de transvection, Tu =
I + aE u , où a est quelconque, on voit que A est diagonale. Le groupe PGL(n, OC) est
donc de centre trivial, et il en va de même pour PSL(n, OC).
e) Une base étant choisie, il y a isomorphisme entre l'ensemble des matrices inversibles
GL(n, OC) et le groupe des automorphismes de l'espace vectoriel OC". On l'appelle également groupe linéaire, on le note GL(OC"), et on le confond souvent avec le groupe des
matrices inversibles.
GL(OC") agit sur l'ensemble des droites vectorielles par g.D = g(D). Cette action n'est
pas fidèle, son noyau est l'ensemble des endomorphismes g tels que g(D) = D pour
toute droite. On a alors g(x) = Àxx pour tout vecteur x, et en utilisant la linéarité, on
peut montrer que À x est une constante ; le noyau de l'action ne contient donc que les
homothéties, et c'est le centre de GL(n, OC). On en déduit que l'action passe au quotient du groupe linéaire par son centre. Cette action est transitive, car deux droites étant
données, il existe toujours une application linéaire transformant un vecteur non nul de
l'une, en un vecteur non nul de l'autre ; il suffit de compléter chacun de ces vecteurs
en une base. De plus, on peut imposer que le déterminant de cette application linéaire
soit 1, en multipliant au besoin l'image d'un vecteur par un scalaire. Ainsi, le groupe
PSL(n, OC) agit aussi sur l'ensemble des droites, fidèlement et transitivement. Cette action est à la base d'une démonstration de la simplicité de (presque) tous les groupes
PSL(n, OC), voir les problèmes de la section 6.3 (chapitre 6).
2) Calculs des . cardinaux ; premiers cas particuliers
a) Un automorphisme de OC" est déterminé par l'image de la base canonique, image qui
doit être une base. Il y a donc q" - 1 choix pour l'image du premier vecteur, car on
n'exclut que le vecteur nul. Pour le suivant, il faut exclure les vecteurs colinéaires au
premier vecteur qui sont sur une droite de cardinal q. Dans le cas suivant, il faudra
exclure les vecteurs d'un plan, q
2
éléments. Ainsi :
I GL(n, OC) I = ( r /' - l)( r /' - q) ... ( r /' - q "- 1 )
Le centre, formé des homothéties, est de cardinal q - 1 d'où :
(
11
1)(
11
) ( 11
11
- I )
IPGL(n, OC)I =
q - q - q · · · q - q
q -1
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Th éorie des groupes
avec k parcourant Il{*. Ces matrices forment bien un sous-groupe isomorphe à OC* et
l'application s qui à k associe la matrice correspondante est bien une section, puisque
le déterminant d'une de ces matrices est k.
Remarque : Il arrive qu'on puisse choisir un relèvement tel que le produit soit direct ; il suffit pour cela de trouver une section à valeur dans le centre de SL(n, OC).
On associera à k la matrice scalaire dont tous les éléments diagonaux sont égaux
à une des racines n-ièmes de k. Cela fonctionnera donc, en dimension impaire,
pour le corps des réels, tout le temps pour le corps des complexes.
c) L' étude a été faite dans le premier problème. On trouve donc que le centre est formé
des matrices scalaires qui sont dans SL(n, OC), c'est-à-dire qui sont de la forme A/ 11 , où
À" = 1.
d) Soit A = (a;j ) une matrice de GL(n, OC) dont la classe A est dans le centre de PGL(n, OC).
Alors, pour toute matrice B inversible, AB = BA soit AB = ÀBA pour un certain scalaire
À (qui dépend de B a priori). En prenant pour B une matrice de transvection, Tu =
I + aE u , où a est quelconque, on voit que A est diagonale. Le groupe PGL(n, OC) est
donc de centre trivial, et il en va de même pour PSL(n, OC).
e) Une base étant choisie, il y a isomorphisme entre l'ensemble des matrices inversibles
GL(n, OC) et le groupe des automorphismes de l'espace vectoriel OC". On l'appelle également groupe linéaire, on le note GL(OC"), et on le confond souvent avec le groupe des
matrices inversibles.
GL(OC") agit sur l'ensemble des droites vectorielles par g.D = g(D). Cette action n'est
pas fidèle, son noyau est l'ensemble des endomorphismes g tels que g(D) = D pour
toute droite. On a alors g(x) = Àxx pour tout vecteur x, et en utilisant la linéarité, on
peut montrer que À x est une constante ; le noyau de l'action ne contient donc que les
homothéties, et c'est le centre de GL(n, OC). On en déduit que l'action passe au quotient du groupe linéaire par son centre. Cette action est transitive, car deux droites étant
données, il existe toujours une application linéaire transformant un vecteur non nul de
l'une, en un vecteur non nul de l'autre ; il suffit de compléter chacun de ces vecteurs
en une base. De plus, on peut imposer que le déterminant de cette application linéaire
soit 1, en multipliant au besoin l'image d'un vecteur par un scalaire. Ainsi, le groupe
PSL(n, OC) agit aussi sur l'ensemble des droites, fidèlement et transitivement. Cette action est à la base d'une démonstration de la simplicité de (presque) tous les groupes
PSL(n, OC), voir les problèmes de la section 6.3 (chapitre 6).
2) Calculs des . cardinaux ; premiers cas particuliers
a) Un automorphisme de OC" est déterminé par l'image de la base canonique, image qui
doit être une base. Il y a donc q" - 1 choix pour l'image du premier vecteur, car on
n'exclut que le vecteur nul. Pour le suivant, il faut exclure les vecteurs colinéaires au
premier vecteur qui sont sur une droite de cardinal q. Dans le cas suivant, il faudra
exclure les vecteurs d'un plan, q
2
éléments. Ainsi :
I GL(n, OC) I = ( r /' - l)( r /' - q) ... ( r /' - q "- 1 )
Le centre, formé des homothéties, est de cardinal q - 1 d'où :
(
11
1)(
11
) ( 11
11
- I )
IPGL(n, OC)I =
q - q - q · · · q - q
q -1
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