Solutions des problèmes
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8) Soit H l'ensemble des a fixant tous les i > n. Alors, l'application restriction est un isomorphisme de H sur S,, et l'on fera l'identification. Par ailleurs, tout élément a de S o �> est
dans un des S,,, il suffit de prendre n tel que a fixe tous les éléments supérieurs à n, et donc
s < N> = LJs,,
11;;;,1
9) Tout élément a de S < N> peut être considéré comme élément d'un des S,, . On peut alors
définir sa signature, mais il faut vérifier l'indépendance par rapport à n. Soit en effet
n' > n, comme a fixe tous les entiers entre n et n', le nombre k des orbites est augmenté
de n' - net:
e(a) = (-1) " -k = (- 1) " '-k'
La signature reste donc un morphisme, car deux permutations de S < N> peuvent toujours
être considérées comme un même élément d'un S,,. On peut définir le groupe alterné A ( N),
noyau de ce morphisme. Ce sera l'union de tous les groupes alternés A,, .
Montrons que A < N> est simple, ce sera un premier exemple de groupe simple infini. Soit
H un sous-groupe normal de A,, . Soit i � 5. Alors H n A; est soit réduit à e, soit égal à
A; puisque ce groupe est simple. Supposons que pour un indice i, cette intersection soit
réduite à e. Alors si x E H n'est pas dans A;, il est dans A,, pour n > i, mais alors H n A,,
n'est pas réduit à e, et A,, est inclus dans H, et donc A; est inclus dans H, ce qui est
absurde. Dans ce cas, H est réduit à e. L'alternative est que H contienne tous les A,, pour
n � 5, et alors H = AcN> · Remarquons que le raisonnement fonctionne pour un groupe qui
est l'union d'une suite croissante de groupes dont une infinité est simple.
10) K est formé des ILE/ T;, où I est un sous-ensemble fini quelconque de N. Ces éléments sont
tous d'ordre deux, et K est commutatif puisque les générateurs T; sont des transpositions à
supports disjoints.
3.5.1 Les groupes GL(n, OC), PGL(n, OC), SL(n, OC), PSL(n, OC)
1) Préliminaires
a) Il suffit de dire que SL(n, IK) est le noyau du morphisme déterminant :
det : GL(n, IK) --t IK*
b) On a donc une suite exacte :
e--+SL(n, IK) �GL(n, IK)�IK* --+e
Pour montrer que c'est un produit semi-direct, il suffit de trouver un relèvement, l'ensemble des matrices de la forme
1
0
0
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0 k
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8) Soit H l'ensemble des a fixant tous les i > n. Alors, l'application restriction est un isomorphisme de H sur S,, et l'on fera l'identification. Par ailleurs, tout élément a de S o �> est
dans un des S,,, il suffit de prendre n tel que a fixe tous les éléments supérieurs à n, et donc
s < N> = LJs,,
11;;;,1
9) Tout élément a de S < N> peut être considéré comme élément d'un des S,, . On peut alors
définir sa signature, mais il faut vérifier l'indépendance par rapport à n. Soit en effet
n' > n, comme a fixe tous les entiers entre n et n', le nombre k des orbites est augmenté
de n' - net:
e(a) = (-1) " -k = (- 1) " '-k'
La signature reste donc un morphisme, car deux permutations de S < N> peuvent toujours
être considérées comme un même élément d'un S,,. On peut définir le groupe alterné A ( N),
noyau de ce morphisme. Ce sera l'union de tous les groupes alternés A,, .
Montrons que A < N> est simple, ce sera un premier exemple de groupe simple infini. Soit
H un sous-groupe normal de A,, . Soit i � 5. Alors H n A; est soit réduit à e, soit égal à
A; puisque ce groupe est simple. Supposons que pour un indice i, cette intersection soit
réduite à e. Alors si x E H n'est pas dans A;, il est dans A,, pour n > i, mais alors H n A,,
n'est pas réduit à e, et A,, est inclus dans H, et donc A; est inclus dans H, ce qui est
absurde. Dans ce cas, H est réduit à e. L'alternative est que H contienne tous les A,, pour
n � 5, et alors H = AcN> · Remarquons que le raisonnement fonctionne pour un groupe qui
est l'union d'une suite croissante de groupes dont une infinité est simple.
10) K est formé des ILE/ T;, où I est un sous-ensemble fini quelconque de N. Ces éléments sont
tous d'ordre deux, et K est commutatif puisque les générateurs T; sont des transpositions à
supports disjoints.
3.5.1 Les groupes GL(n, OC), PGL(n, OC), SL(n, OC), PSL(n, OC)
1) Préliminaires
a) Il suffit de dire que SL(n, IK) est le noyau du morphisme déterminant :
det : GL(n, IK) --t IK*
b) On a donc une suite exacte :
e--+SL(n, IK) �GL(n, IK)�IK* --+e
Pour montrer que c'est un produit semi-direct, il suffit de trouver un relèvement, l'ensemble des matrices de la forme
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