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Théorie des groupes
2) Soient z et z' deux éléments de lU p "". Alors z P " = z'P
11
1
= 1 pour certains n et n' et donc
��
�
A
(zz')P
= 1. De plus, z P = 1 prouve que lU p "
< lU ,,, , ... Pour etre plus concret, les
premiers éléments de 1U 2 00 sont :
1[J = { 1 -1 z' - z· e i 7r/4 e 3 i 7r/4 e- hr/ 4 e - 3 i'll / 4
}
2 00
,
' ,
'
'
,
,
, . ..
où on s'est arrêté aux racines huitièmes. lU p "" est un sous-groupe multiplicatif du groupe
des nombres complexes de module 1, noté lU.
3) On utilise le fait qu'un élément d'ordre p
k
est une racine primitive p
k
-ième de l'unité et
donc engendre lU µ k. Raisonnons par l'absurde, si la suite des ordres des éléments de H
était infinie, pour tout élément z de 1U P "" d'ordre p
k
, il existerait un élément h de H d'ordre
supérieur p
k ' et H contiendrait lU
P
e et donc z, lU p "" serait inclus dans H donc égal à H.
Si maintenant on choisit dans H un élément d'ordre maximum p
ka
, H est égal à 1[J µk a par
le même argument. Les sous-groupes forment donc une chaîne ; c'est à cause de cette
propriété qu'ils partagent avec les groupes cycliques Z/p
a
z, que les groupes de Prüfer
sont aussi appelés groupes quasi-cycliques.
4) Considérons l'application z f-+ z P " , de lU p "" dans lU p "". C'est un morphisme de groupe,
son noyau est lU p "
et elle est surjective ; tout élément de lU p "" est de la forme e w "' / l et
est l'image de e w "'1/•". On en déduit l'isomorphisme demandé, tous les sous-groupes de
1U P "" sont finis et d'indice infini.
5) Le groupe 1[J des nombres complexes de module 1 est isomorphe au groupe additif �/2,r'll,
ou, ce qui revient au même, au groupe �/Z. Par cet isomorphisme, les éléments du pgroupe de Prüfer sont envoyés sur les classes de fractions de la forme -j. . Ces éléments
forment donc un groupe isomorphe au p-groupe de Prüfer, parfois noté (Q/Z) µ ,
6) Prenons la notation additive. Pour définir un endomorphisme f de 1[J P "" , il suffit de le définir
pour les -j,.. Posons donc :
( 1 )
a,,
f p"
= p"
où a,, est dans { 0, l, ... , p" - l}. En effet, il est nécessaire que cette image g vérifie
p"g = 0 dans le groupe (Q/Z) µ , Il faut néanmoins d'autres conditions pour que ce soit un
morphisme ; on doit en effet avoir :
ce qui donne
a,,
a,,_ 1
'li
p - - -1
E fLI {::::::} a,, = a,,_ 1
p" p"(mod p"1
)
À tout endomorphisme/, correspond donc une suite (a 1 , a2 , ... , a,, , ... ), les entiers a; pris
dans {O, 1, ... ,p
i
- l} devant vérifier les congruences ci-dessus. Réciproquement, de telles
suites donnent lieu à un endomorphisme de G; ces suites sont en bijection avec l'anneau
des entiers p-adiques.
7) Soient CJ' et CJ'
1
deux éléments de S ( l"I> · Alors CJ' o CJ'
1
est dans ScJ\l l puisque tous les entiers
sont fixes à partir d'un certain rang.
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Théorie des groupes
2) Soient z et z' deux éléments de lU p "". Alors z P " = z'P
11
1
= 1 pour certains n et n' et donc
��
�
A
(zz')P
= 1. De plus, z P = 1 prouve que lU p "
< lU ,,, , ... Pour etre plus concret, les
premiers éléments de 1U 2 00 sont :
1[J = { 1 -1 z' - z· e i 7r/4 e 3 i 7r/4 e- hr/ 4 e - 3 i'll / 4
}
2 00
,
' ,
'
'
,
,
, . ..
où on s'est arrêté aux racines huitièmes. lU p "" est un sous-groupe multiplicatif du groupe
des nombres complexes de module 1, noté lU.
3) On utilise le fait qu'un élément d'ordre p
k
est une racine primitive p
k
-ième de l'unité et
donc engendre lU µ k. Raisonnons par l'absurde, si la suite des ordres des éléments de H
était infinie, pour tout élément z de 1U P "" d'ordre p
k
, il existerait un élément h de H d'ordre
supérieur p
k ' et H contiendrait lU
P
e et donc z, lU p "" serait inclus dans H donc égal à H.
Si maintenant on choisit dans H un élément d'ordre maximum p
ka
, H est égal à 1[J µk a par
le même argument. Les sous-groupes forment donc une chaîne ; c'est à cause de cette
propriété qu'ils partagent avec les groupes cycliques Z/p
a
z, que les groupes de Prüfer
sont aussi appelés groupes quasi-cycliques.
4) Considérons l'application z f-+ z P " , de lU p "" dans lU p "". C'est un morphisme de groupe,
son noyau est lU p "
et elle est surjective ; tout élément de lU p "" est de la forme e w "' / l et
est l'image de e w "'1/•". On en déduit l'isomorphisme demandé, tous les sous-groupes de
1U P "" sont finis et d'indice infini.
5) Le groupe 1[J des nombres complexes de module 1 est isomorphe au groupe additif �/2,r'll,
ou, ce qui revient au même, au groupe �/Z. Par cet isomorphisme, les éléments du pgroupe de Prüfer sont envoyés sur les classes de fractions de la forme -j. . Ces éléments
forment donc un groupe isomorphe au p-groupe de Prüfer, parfois noté (Q/Z) µ ,
6) Prenons la notation additive. Pour définir un endomorphisme f de 1[J P "" , il suffit de le définir
pour les -j,.. Posons donc :
( 1 )
a,,
f p"
= p"
où a,, est dans { 0, l, ... , p" - l}. En effet, il est nécessaire que cette image g vérifie
p"g = 0 dans le groupe (Q/Z) µ , Il faut néanmoins d'autres conditions pour que ce soit un
morphisme ; on doit en effet avoir :
ce qui donne
a,,
a,,_ 1
'li
p - - -1
E fLI {::::::} a,, = a,,_ 1
p" p"(mod p"1
)
À tout endomorphisme/, correspond donc une suite (a 1 , a2 , ... , a,, , ... ), les entiers a; pris
dans {O, 1, ... ,p
i
- l} devant vérifier les congruences ci-dessus. Réciproquement, de telles
suites donnent lieu à un endomorphisme de G; ces suites sont en bijection avec l'anneau
des entiers p-adiques.
7) Soient CJ' et CJ'
1
deux éléments de S ( l"I> · Alors CJ' o CJ'
1
est dans ScJ\l l puisque tous les entiers
sont fixes à partir d'un certain rang.
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