Solutions des problèmes
175
comme on peut le vérifier sur le schéma ci-dessous :
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•
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•
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1
• -- o -- • -- o
Les sous-groupes de Z/p x Z/p sont rectangles, il y en a alors quatre, le sous-groupe
trivial, le sous-groupe plein et les deux axes (0 x Z/p et Z/p x 0). Les autres sont issus
des automorphismes de Z/p dans lui-même ; ce sont les droites engendrées par (Î, a) où a
est inversible. Tout cela est compatible avec le fait que les sous-groupes de Z/p x Z/p en
sont les sous-espaces vectoriels. Vo ir l'exercice 1.1.22.
6) a) '1l, x 'll,, Les sous-groupes de '1l, sont les n'll,, et m'll, � n'll, si et seulement si nlm, le
quotient est isomorphe à Z/d où d = !f:. Les sous-groupes sont donc :
- les sous-groupes rectangles de la forme n'll, x m'll, ;
- les sous-groupes issus de quotients avec 1f: =
1
::: •
Les sous-groupes issus des ces quotients sont des réseaux, c'est-à-dire des ensembles
de la forme Zu + Zv où u et v sont des vecteurs à coordonnées entières. Ainsi, le lecteur
pourra vérifier que, pour les rapports � = �. on trouve le réseau '7!,(4, 0) + '7!,(2, 3),
alors qu'avec � = 1f, on trouve deux réseaux, '7!,(8, 0) + '7!,(2, 3) et '7!,(8, 0) + '7!,(6, 3).
Réciproquement, on pourra vérifier que tout réseau est issu de cette construction ; par
exemple, 'll,(a, b) + 'll,(c, d) conduit à L 1 = at-;:,;c z, C 1 =( a/\ c)Z.
b) Les sous-groupes de Z/2 sont O et Z/2 ; ceux de Z/6 sont {O}, {O, 2, 4}, {O, 3} et Z/6.
On en déduit qu'il y a huit sous-groupes rectangles, et deux non rectangles :
{ (0, 0), (0, 2), (0, 4), (Î, Î), (Î, 3)(Î, 5)}
{ (0, 0), (Î, 3)
obtenus avec les mêmes techniques.
c) S 3 admet six sous-groupes, donc trente-six sous-groupes rectangles. Il y a six automorphismes de S 3 donc six sous-groupes à six éléments non rectangles. Par exemple
{(T t , T2), (T 2 , 'T) ), (T 3 , 'T3 ), (O', o2 ), (o- 2 , a), (e, e)}
pour l'automorphisme intérieur défini par la transposition T 3 . Les seuls quotients sont
S 3 / { e, a, o2
} et (-r;) / { e }, et cela permet de définir d'autres sous-groupes.
2.5.2 Les groupes de Prüfer
1) lU 11 est un groupe monogène, dont un générateur est t11 = e �. Il est isomorphe à Z/n :
c'est la version« multiplicative» du groupe cyclique à n éléments.
www.bibliomath.com
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Les sous-groupes de Z/p x Z/p sont rectangles, il y en a alors quatre, le sous-groupe
trivial, le sous-groupe plein et les deux axes (0 x Z/p et Z/p x 0). Les autres sont issus
des automorphismes de Z/p dans lui-même ; ce sont les droites engendrées par (Î, a) où a
est inversible. Tout cela est compatible avec le fait que les sous-groupes de Z/p x Z/p en
sont les sous-espaces vectoriels. Vo ir l'exercice 1.1.22.
6) a) '1l, x 'll,, Les sous-groupes de '1l, sont les n'll,, et m'll, � n'll, si et seulement si nlm, le
quotient est isomorphe à Z/d où d = !f:. Les sous-groupes sont donc :
- les sous-groupes rectangles de la forme n'll, x m'll, ;
- les sous-groupes issus de quotients avec 1f: =
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Les sous-groupes issus des ces quotients sont des réseaux, c'est-à-dire des ensembles
de la forme Zu + Zv où u et v sont des vecteurs à coordonnées entières. Ainsi, le lecteur
pourra vérifier que, pour les rapports � = �. on trouve le réseau '7!,(4, 0) + '7!,(2, 3),
alors qu'avec � = 1f, on trouve deux réseaux, '7!,(8, 0) + '7!,(2, 3) et '7!,(8, 0) + '7!,(6, 3).
Réciproquement, on pourra vérifier que tout réseau est issu de cette construction ; par
exemple, 'll,(a, b) + 'll,(c, d) conduit à L 1 = at-;:,;c z, C 1 =( a/\ c)Z.
b) Les sous-groupes de Z/2 sont O et Z/2 ; ceux de Z/6 sont {O}, {O, 2, 4}, {O, 3} et Z/6.
On en déduit qu'il y a huit sous-groupes rectangles, et deux non rectangles :
{ (0, 0), (0, 2), (0, 4), (Î, Î), (Î, 3)(Î, 5)}
{ (0, 0), (Î, 3)
obtenus avec les mêmes techniques.
c) S 3 admet six sous-groupes, donc trente-six sous-groupes rectangles. Il y a six automorphismes de S 3 donc six sous-groupes à six éléments non rectangles. Par exemple
{(T t , T2), (T 2 , 'T) ), (T 3 , 'T3 ), (O', o2 ), (o- 2 , a), (e, e)}
pour l'automorphisme intérieur défini par la transposition T 3 . Les seuls quotients sont
S 3 / { e, a, o2
} et (-r;) / { e }, et cela permet de définir d'autres sous-groupes.
2.5.2 Les groupes de Prüfer
1) lU 11 est un groupe monogène, dont un générateur est t11 = e �. Il est isomorphe à Z/n :
c'est la version« multiplicative» du groupe cyclique à n éléments.
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