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Théorie des groupes
où N est un produit d'éléments de M, k et l inférieurs à l'ordre de U (resp. de S). Reste
à chercher quand A est égal à I ou à -/. Cela ne se produit pas dans les trois derniers
cas, sinon, par exemple, u-k ou -u-k serait dans M, ce qui n'est pas vrai. On vérifie
de même les autres possibilités. Enfin, deux décompositions différentes de A donneraient,
en multipliant par l'inverse de l'une, une écriture non banale de I ou de -/. En passant à
l'ensemble quotient, on voit donc que l'écriture (*) est unique.
2.5.1 Les sous-groupes d'un produit
1) L 1 et .C 1 sont des sous-groupes comme intersection de groupes, pour le premier, et comme
image d'un groupe par un morphisme, pour le second. De plus, les éléments de .C 1 sont
caractérisés par :
x E .C 1 {::::::} 3 (x, y) E L
où (x, y) est bien sûr dans G. On en déduit que L 1 , qui est formé des éléments de la forme
(x, 1 ) E L, est inclus dans .C 1 x { 1 }. En identifiant (x, 1 ) avec x, L 1 est un sous-groupe de
.C 1 . De même pour l'indice 2. Montrons que L 1 est normal dans .C 1 , soit (xo, 1) dans L 1 , x
dans .C 1 provenant d'un couple (x, y) de L. Alors :
(x, l)(xo, l)(x, 1)1
= (xxox1 , 1) = (x, y)(xo , l )(x, y)- 1
Comme ce dernier élément est dans L, le conjugué de (xo, 1) est dans L 1 • On peut aussi
raisonner plus gobalement, en utilisant le fait que L 1 est le noyau de la seconde projection.
2) Définissons une application par :
:
.C 1
p 1 (x, y) = (x, 1)
Elle est bien définie car y est dans .C2 et si (x, y) et (x, y') sont dans L, alors ( 1, y- 1 y') E L,
et donc yL2 = y'L2. De plus, si (x, 1) = L2, alors ( 1 ,y) E Let (x,y) EL, d'où (x,yy -
1 ) E
L et x E L 1 . On en déduit l'isomorphisme demandé.
3) Il suffit de définir L ainsi :
L = {(x, y) 1 x E .C 1 , y E 0(x)}
On vérifie immédiatement que c'est un groupe en utilisant le fait que 0 est un morphisme.
Le reste des vérifications est immédiat.
4) Si Lest« rectangle», il est de la forme H 1 x K 1 . Et alors, L 1 = .C 1 = H 1 • Le quotient est
donc trivial, et il en va de même pour l'autre quotient. La réciproque est immédiate.
5) G = Z/4 a trois sous-groupes : (0), (2) et (Î) . Il y a donc neuf groupes rectangles que
nous ne détaillerons pas. Le quotient G / (0) conduit à deux automorphismes, l'identité,
et le groupe L donné par la théorie précédente est le groupe diagonal, à quatre éléments.
L'autre automorphisme, donné par î 1--+ 3, conduit au sous-groupe:
{(0, 0), ( 1 , 3), (2, 2), (3 , 1 )}
Les autres quotients sont G / (2) et (2) / (0) qui sont isomorphes d'une seule façon ; cela
donne quatre isomorphismes et quatre sous-groupes. À titre d'exemple, l'isomorphisme
G / (2) - (2) /0 donne le sous-groupe :
{(0, 0), ( 1 , 2), (2, 0), (3 , 2) }
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