Solutions des problèmes
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7 )
de T et de puissances de S. En passant au quotient, le groupe modulaire est engendré par
set t.
A =
G �
4 )
7 = 2 x 3 + 1. Multiplions à gauche par r- 3
r3
A = G ; )
Multiplions à gauche par S pour échanger les lignes :
sr- 3 A = ( �
2
-;
7 )
Encore une combinaison de lignes :
et un échange de lignes :
T
2
ST- 3
A = ( � -;
1
)
ST
2
ST- 3
A -
( -l - 3)
- 0
-1
On reconnaît la matrice s 2 T 3
, d'où:
A = T 3 s- l r- 2 s- l s 2 T 3 = T
3 s- l T2
ST 3
En passant au quotient, on aura a= t
3
st2
st
3
• Bien sûr, il existe d'autres procédés du même
type; on aurait pu utiliser les colonnes ... Une question se pose, arrive-t-on alors au même
résultat?
8) La matrice U vérifie :
2
(- 1
u =
-1 � ) '
u
3
=-I
donc u
3
= e, u est d'ordre 3. De plus, on vérifie que T = u1
s1
• On en déduit que M
est engendré par s et u qui sont respectivement d'ordre 2 et 3; par exemple, on trouve
a = (u
2
s)
3
s(u
2
s)2
s(u
2
s)
3 .
9) Cette écriture s'obtient tout simplement en développant les calculs de puissances, et en
tenant compte de l'ordre de u et de s. Ainsi a= u
2
su
2
su
2
sususu
2
su
2
su
2
s.
10) L'ensemble M est stable pour le produit matriciel, comme le montre le calcul suivant:
( a c) ( a' - c') _ ( aa' + cb' -ac' - cd' )
-b �
-b' d' - -ba' - db' be' + dd'
où tous les coefficients sont des entiers positifs. Si a, d, a', d' sont supérieurs à 1, les coefficients diagonaux du produit sont supérieurs à 1 et si b + c =I O de même que b' + c',
les coefficients diagonaux de la matrice produit ne sont pas tous les deux nuls. L'ensemble
M ne contient donc pas la matrice de l'identité. Donc toute matrice A de SL(2, Z) peut
s'écrire sous la forme :
A = ], A = s
k
, A = u
k
, A = u
K
N, A = NS
1 ' A = u
k
NS
1
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