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Théorie des groupes
De plus, si /(z) = z pour tout z. alors bz 2 + (d - a)z + c = 0 pour tout z, ce qui donne
b = c = 0 et a= d. La condition sur le déterminant condµit bien aux solutions I et -/.
3) Les matrices Tet S sont à coefficients entiers et de déterminant 1. De plus :
4 )
2
(- 1
s -
- 0
s
4
= l
S est donc d'ordre 4. Par ailleurs, une récurrence immédiate montre que
T k = (� 7)
pour k dans Z. Le groupe engendré par T est isomorphe à Z.
(
1 k
) ( a i l a 12 ) = (
a i 1 + ka21
0 1
a2 1 a22
a 21
qui vérifie bien la règle indiquée
1
• Par ailleurs :
(0 -1)
( ai l
1 0
a 21
Enfin les produits de l'autre côté donnent le même type de résultat mais pour les colonnes :
( :�: :�� ) ( � 7 ) = ( :�:
a 1 2 + ka ll
)
a 22 + ka 21
5) Soit :
A= ( : �)
une matrice de SL(2, Z). Si b = 0, A est triangulaire supérieure. Sinon, la division euclidienne de a par b s'écrit a = bq + r et le produit de A à gauche par sy- q donne une matrice de première colonne (-,.
b
) . Comme lrl < lbl, en itérant comme dans l'algorithme
d'Euclide, on parvient à un dernier reste nul, et on se ramène à une matrice triangulaire
supérieure notée B.
6) Une matrice de la forme
B = ( � �)
dans SL(2, Z), vérifie det(B) =ad= 1. Elle peut donc s'écrire :
B =
= y
c
ou B =
= s T C
(1 C )
(- 1 C ) 2 -
0 1
0 -1
En prémultipliant la matrice B de la question précédente par les inverses des matrices qui
ont fait passer de A à B, on voit que toute matrice de SL(2, Z) est produit de puissances
l. Ce calcul est très général, il a déjà été utilisé dans le problème précédent avec les matrices T ij qui sont des
matrices de transvections.
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Théorie des groupes
De plus, si /(z) = z pour tout z. alors bz 2 + (d - a)z + c = 0 pour tout z, ce qui donne
b = c = 0 et a= d. La condition sur le déterminant condµit bien aux solutions I et -/.
3) Les matrices Tet S sont à coefficients entiers et de déterminant 1. De plus :
4 )
2
(- 1
s -
- 0
s
4
= l
S est donc d'ordre 4. Par ailleurs, une récurrence immédiate montre que
T k = (� 7)
pour k dans Z. Le groupe engendré par T est isomorphe à Z.
(
1 k
) ( a i l a 12 ) = (
a i 1 + ka21
0 1
a2 1 a22
a 21
qui vérifie bien la règle indiquée
1
• Par ailleurs :
(0 -1)
( ai l
1 0
a 21
Enfin les produits de l'autre côté donnent le même type de résultat mais pour les colonnes :
( :�: :�� ) ( � 7 ) = ( :�:
a 1 2 + ka ll
)
a 22 + ka 21
5) Soit :
A= ( : �)
une matrice de SL(2, Z). Si b = 0, A est triangulaire supérieure. Sinon, la division euclidienne de a par b s'écrit a = bq + r et le produit de A à gauche par sy- q donne une matrice de première colonne (-,.
b
) . Comme lrl < lbl, en itérant comme dans l'algorithme
d'Euclide, on parvient à un dernier reste nul, et on se ramène à une matrice triangulaire
supérieure notée B.
6) Une matrice de la forme
B = ( � �)
dans SL(2, Z), vérifie det(B) =ad= 1. Elle peut donc s'écrire :
B =
= y
c
ou B =
= s T C
(1 C )
(- 1 C ) 2 -
0 1
0 -1
En prémultipliant la matrice B de la question précédente par les inverses des matrices qui
ont fait passer de A à B, on voit que toute matrice de SL(2, Z) est produit de puissances
l. Ce calcul est très général, il a déjà été utilisé dans le problème précédent avec les matrices T ij qui sont des
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