Solutions des problèmes
171
éléments. Ne pas confondre le centre de H, qui est inclus dans H, avec son centralisateur,
ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de H.
8) Soit C = (c ij ) une matrice du centre et soit T ij = I + E ij pour i =/ j . Alors CT ij = T ij C
pour tous les couples équivaut à la ligne j, et la colonne i est nulle sauf sur la diagonale.
De plus, on doit avoir c;; = 9i · En utilisant les autres matrices T;;, on voit que le centre ne
peut contenir que les matrices scalaires, et qu'elles conviennent. Remarquons que le même
calcul donne le centre de SL(n, OC), puisque les matrices T ij sont de déterminant 1. Passons
au groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles, pour n = 2, un calcul direct
montre que le centre est formé des matrices scalaires, et cela se généralise en dimension
quelconque. En revanche, le centre du groupe des matrices triangulaires unipotentes est
formé des matrices unipotentes de la forme :
9 )
1 0
0 a
0 1
0 0
0 0
0 0
I + aE 111 = 0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0
1
Ce centre est un groupe isomorphe au groupe additif de OC.
(xy) = i x o i y et i x o i y (g) = x(ygy - 1 )x - 1 = ixy (g)
donc est un morphisme. De plus, ix(g) = g pour tout g équivaut àxgx1
= g, c'est-à-dire
que x est dans le centre de G. On en déduit l'isomorphisme:
G/Z(G) '=:t Int(G)
D'où l'intérêt de l'étude du quotient G/ Z(G).
1.3.2 Le groupe modulaire M
1) Il suffit de montrer que/ admet une application réciproque. Posons/1
(z) = !t� :a avec les
mêmes conventions pour oo. Un simple calcul montre que cela convient, et le déterminant
est encore 1.
' 'f ( ) +
1
a' az+a' c + c ' (aa ' + bc ' )z + ca ' + de '
!' o f( z) =
a z c
= bz+d
- -- - ---- -
b 'f ( z) + d' b'az+b'c + d' - (ab '+ bd ')z + ch' + dd'
bz+d
prouve la stabilité (à la vérification des cas particuliers près). On peut également observer
que le déterminant de la matrice obtenue est bien 1. L'ensemble de ces transformations est
donc un groupe.
2) Dans le calcul ci-dessus, on « remarque » que les coefficients du composé de deux homographies sont ceux de la matrice produit 1 . C'est exactement dire que est un morphisme.
l. Ce n'est pas tout à fait un hasard ... C'est la géométrie projective qui éclaire la relation entre homographie
et matrices.
www.bibliomath.com
171
éléments. Ne pas confondre le centre de H, qui est inclus dans H, avec son centralisateur,
ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de H.
8) Soit C = (c ij ) une matrice du centre et soit T ij = I + E ij pour i =/ j . Alors CT ij = T ij C
pour tous les couples équivaut à la ligne j, et la colonne i est nulle sauf sur la diagonale.
De plus, on doit avoir c;; = 9i · En utilisant les autres matrices T;;, on voit que le centre ne
peut contenir que les matrices scalaires, et qu'elles conviennent. Remarquons que le même
calcul donne le centre de SL(n, OC), puisque les matrices T ij sont de déterminant 1. Passons
au groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles, pour n = 2, un calcul direct
montre que le centre est formé des matrices scalaires, et cela se généralise en dimension
quelconque. En revanche, le centre du groupe des matrices triangulaires unipotentes est
formé des matrices unipotentes de la forme :
9 )
1 0
0 a
0 1
0 0
0 0
0 0
I + aE 111 = 0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0
1
Ce centre est un groupe isomorphe au groupe additif de OC.
(xy) = i x o i y et i x o i y (g) = x(ygy - 1 )x - 1 = ixy (g)
donc
= g, c'est-à-dire
que x est dans le centre de G. On en déduit l'isomorphisme:
G/Z(G) '=:t Int(G)
D'où l'intérêt de l'étude du quotient G/ Z(G).
1.3.2 Le groupe modulaire M
1) Il suffit de montrer que/ admet une application réciproque. Posons/1
(z) = !t� :a avec les
mêmes conventions pour oo. Un simple calcul montre que cela convient, et le déterminant
est encore 1.
' 'f ( ) +
1
a' az+a' c + c ' (aa ' + bc ' )z + ca ' + de '
!' o f( z) =
a z c
= bz+d
- -- - ---- -
b 'f ( z) + d' b'az+b'c + d' - (ab '+ bd ')z + ch' + dd'
bz+d
prouve la stabilité (à la vérification des cas particuliers près). On peut également observer
que le déterminant de la matrice obtenue est bien 1. L'ensemble de ces transformations est
donc un groupe.
2) Dans le calcul ci-dessus, on « remarque » que les coefficients du composé de deux homographies sont ceux de la matrice produit 1 . C'est exactement dire que
l. Ce n'est pas tout à fait un hasard ... C'est la géométrie projective qui éclaire la relation entre homographie
et matrices.
www.bibliomath.com