Solutions des problèmes
1.3.1 Sous-groupes caractéristiques, centre
1) Soit un automorphisme quelconque de G. Alors (K) = K car K est caractéristique dans
G. On en déduit que la restriction de à K est un automorphisme de K, et que (H) = H.
H est donc un sous-groupe caractéristique de G. Dans le cas où on tente de remplacer
« caractéristique » par« normal », ce qui ne fonctionne pas, c'est que la restriction d'un
automorphisme intérieur est un automorphisme, mais pas forcément intérieur.
2) C'est le même argument. Si est un automorphisme intérieur de G, K est stable par
car il est normal dans G, et la restriction de , qui n'est pas forcément intérieure dans K,
laisse invariant H.
3) Soit E Aut(G) et z E Z(G). Alors, si x est quelconque dans G et y son antécédent par
, on écrit (z)x = (z)(y) = (zy) = q>(yz) = x(z). Ainsi, (z) est dans le centre de
G, qui est donc un sous-groupe caractéristique de G. Si H est un sous-groupe de Z(G), on
ne peut ainsi montrer qu'il est caractéristique dans G. En revanche, il est toujours normal
dans G, car tout automorphisme intérieur se réduit à l'identité quand on est.dans le centre.
4) Soit un automorphisme. (xyx1
y1
) = (x)(y)(x) -
1 (y)1
et donc l'image d'un
commutateur est un commutateur. Le sous-groupe dérivé est stable par tout automorphisme.
5) Même type de calcul (x") = (x)
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6) Il suffit d'observer que la bijectivité de n'est pas utilisée dans les deux questions précédentes. À l'opposé, cela a été nécessaire pour le centre.
7) Si H :,;;; G, alors Z(G) n H c Z(H). Mais l'inclusion peut-être stricte. Ainsi, si H est un
sous-groupe commutatif de G, son centre est lui-même, alors que le centre de G peut être
plus petit. Ainsi Ai a un centre de cardinal 2 et contient un sous-groupe commutatif à 4
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