6 • Problèmes supplément aires
169
tableau ci-dessous :
1 2 3 4 5 6 7
Il))= 2 3 4 5 6 7 1
4 5 6 7
2 3
(remarquer que 2, 6, 7 est considéré comme une droite ... ) Montrer que G est de cardinal
168 : on s'intéressera au stabilisateur d'un point puis de deux points ...
2) Soit a= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) et T = (3, 7)(5, 6). Montrer que H = (a, T) est un sous-groupe
de G, de A1 , et que son cardinal est un multiple de 168. On cherchera un élément d'ordre
7, puis un élément d'ordre 3 et on montrera que H contient un groupe à huit éléments. En
déduire que H = G.
3) On cherche à montrer que G est un groupe simple, c'est-à-dire qu'il n'a pas de sousgroupe normal non trivial. Pour cela, on va vérifier que G est isomorphe à PSL(3, IF 2 ) =
PGL(3, IF 2 ) : montrer en effet que le plan de Fano est isomorphe au graphe formé des
points et des droites du plan projectif construit sur le corps à deux éléments IF2, et que G
s'identifie au groupe des homographies de ce plan.
6. 7 SOUS-GROUPES MAXIMAUX
Soit G un groupe. On dit que M est un sous-groupe maximal de G lorsque :
'v'L::;; G,
M ::;; L ::;; G => L = M ou L = G
1) Quels sont les sous-groupes maximaux de (Z, +)? Quels sont les sous-groupes maximaux
de Z/n?
2) Montrer que tout groupe fini G admet au moins un sous-groupe maximal.
3) Montrer que (Q, +) n'admet pas de sous-groupe maximal.
4) On suppose maintenant, et dans toutes les questions suivantes, que G est un groupe fini.
Montrer que si M est un sous-groupe d'indice p (p premier), alors M est un sous-groupe
maximal. Montrer que § 4 admet un sous-groupe maximal d'indice 4.
5) Si M est un sous-groupe normal de G, montrer qu'il est maximal si et seulement si il est
d'indice p où p est premier.
6) À quelle condition G n'admet-il qu'un seul sous-groupe maximal?
7) Soit G un groupe fini. On appelle sous-groupe de Frattini de G l'intersection des sousgroupes maximaux de G. On le note (G). Montrer que c'est un sous-groupe caractéristique de G, et déterminer le sous-groupe de Frattini du groupe cyclique Z/n, du groupe
symétrique S 11 •
8) Montrer que (G) est l'ensemble des non-générateurs de G. La définition d'un « nongénérateur » de G est la suivante : soit S une partie génératrice quelconque de G, x est
non-générateur si G = (S \ { x}).
9) Montrer que (G) est nilpotent. On montrera que (G) est produit direct de ses sousgroupes de Sylow, et on sera amené à utilisé l'argument (ou lemme) de Frattini : voir
3.2.1 4
www.bibliomath.com