168
Théorie des groupes
6.5 DES GROUPES D'ORDRE 12
1) Il y a trois groupes d'ordre 12 non commutatifs, [)) 12 , Ai et T (voir l'exercice 3.4.4).
Déterminer dans chacun de ces trois cas l'ensemble de leurs sous-groupes.
2) Soit H = T(2, IF 3 ) le groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles d'ordre 2,
à coefficients dans IF 3 = Z/3. Vérifier que ce groupe a douze éléments, et préciser son
centre. Auquel des groupes précédents est-il isomorphe ?
3) Déterminer les automorphismes intérieurs de H.
4) Déterminer tous les automorphismes de H.
5) On appelle G le groupe de toutes les matrices inversibles d'ordre 2 à coefficients dans IF 3 .
Quel est le cardinal de G ?
6) Soit Z(G) le centre de G. En considérant l'action de G sur G/H, montrer que G/Z(G)
est isomorphe au groupe symétrique S 4 . Retrouver ainsi un résultat du problème 3.5. 1.
7) Encore un. Vérifier que le groupe K, formé des matrices triangulaires supérieures de dimension deux, à coefficients dans le corps IF 4 et de déterminant l, est aussi un groupe
à douze éléments. À quel groupe est-il isomorphe? On rappelle qu'il n'existe, à isomorphisme près, qu'un seul corps à quatre éléments. On peut le réaliser par l'anneau
quotient IF 2 [X ] /(X
2
+X+ 1), et si l'on note ex la classe de X, ce quotient peut s'écrire
{O, 1,ex, 1 +ex}.
6.6 UN GROUPE D'ORDRE 168
On considère le graphe dessiné ci-dessous:
1
3
6
4
et on s'intéresse au groupe G des automorphismes de ce graphe, que l'on appelle« plan de
Fano
1
• »
l) Le graphe est formé de sept points : le groupe des automorphismes est donc un sousgroupe du groupe S1 . On considère aussi l'ensemble des sept «droites», colonnes du
1. Gino Fano, mathématicien italien ( 1871-1952), spécialiste de géométrie finie.
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
6.5 DES GROUPES D'ORDRE 12
1) Il y a trois groupes d'ordre 12 non commutatifs, [)) 12 , Ai et T (voir l'exercice 3.4.4).
Déterminer dans chacun de ces trois cas l'ensemble de leurs sous-groupes.
2) Soit H = T(2, IF 3 ) le groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles d'ordre 2,
à coefficients dans IF 3 = Z/3. Vérifier que ce groupe a douze éléments, et préciser son
centre. Auquel des groupes précédents est-il isomorphe ?
3) Déterminer les automorphismes intérieurs de H.
4) Déterminer tous les automorphismes de H.
5) On appelle G le groupe de toutes les matrices inversibles d'ordre 2 à coefficients dans IF 3 .
Quel est le cardinal de G ?
6) Soit Z(G) le centre de G. En considérant l'action de G sur G/H, montrer que G/Z(G)
est isomorphe au groupe symétrique S 4 . Retrouver ainsi un résultat du problème 3.5. 1.
7) Encore un. Vérifier que le groupe K, formé des matrices triangulaires supérieures de dimension deux, à coefficients dans le corps IF 4 et de déterminant l, est aussi un groupe
à douze éléments. À quel groupe est-il isomorphe? On rappelle qu'il n'existe, à isomorphisme près, qu'un seul corps à quatre éléments. On peut le réaliser par l'anneau
quotient IF 2 [X ] /(X
2
+X+ 1), et si l'on note ex la classe de X, ce quotient peut s'écrire
{O, 1,ex, 1 +ex}.
6.6 UN GROUPE D'ORDRE 168
On considère le graphe dessiné ci-dessous:
1
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et on s'intéresse au groupe G des automorphismes de ce graphe, que l'on appelle« plan de
Fano
1
• »
l) Le graphe est formé de sept points : le groupe des automorphismes est donc un sousgroupe du groupe S1 . On considère aussi l'ensemble des sept «droites», colonnes du
1. Gino Fano, mathématicien italien ( 1871-1952), spécialiste de géométrie finie.
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