6 • Problèmes supplément aires
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b) Montrer que PSL(n, OC) est égal à son groupe dérivé, sauf les deux exceptions
PSL(2, IF 2 ) et PSL(2, IF 3 ). On utilisera:
- le fait que SL(n, OC) est engendré par les matrices de transvection ;
- le fait qu'une matrice de transvection est un commutateur, en dimension supérieure
ou égale à trois.
et l'on sera amené à étudier, à part, le cas n = 2.
c) Soit A l'ensemble des projections des matrices de la forme:
A=(� J, , �J
où f. est une matrice ligne avec n - 1 colonnes et O représente une matrice colonne nulle
de n - 1 lignes. Montrer que A est un groupe commutatif, normal dans le stabilisateur
de la droite engendré par le premier vecteur de base. Montrer enfin que PSL(n, OC) est
engendré par les conjugués des éléments de A ; on pourra pour cela vérifier que les
éléments de A sont des matrices de transvection. Conclure.
6.4 SUR LES SOUS-GROUPES
1) On suppose que H, K et L sont des sous-groupes de G tels que H � K. Démontrer que :
Si
H n L = K n L
et
HL = KL
alors
H = K
C'est la loi modulaire. On pourra l'écrire en notation additive et voir comment elle se
traduit dans le cadre des espaces vectoriels (pour la loi d'addition).
2) On suppose que H, K et L sont des sous-groupes de G tels que H � K. Démontrer que :
HL nK = H(LnK )
C'est la loi de Dedekind. Donner une traduction dans le cadre des espaces vectoriels, et
montrer par un exemple que l'hypothèse H � K est nécessaire.
3) Soit G un groupe et .C(G) l'ensemble des sous-groupes de G, muni de la relation d'ordre
c. Montrer que cet ensemble est un treillis c'est-à-dire que:
V(H, K) E .C(G)
2
, 3M E .C(G), M = sup(H, K)
et
V(H, K) E .C(G)
2
, 3N E .C(G), N = inf(H, K)
On note alors H V K = sup(H, K) et H /\ K = inf(H, K) .
4) Montrer que
H�K <=> K= HVK
et
et observer que ces équivalences sont valables dans tout treillis.
5) Soit G = Z/n le groupe cyclique d'ordre n : comment décrire le treillis de ses sousgroupes?
6) On dit qu'un sous-ensemble d'un treillis est un sous-treillis s'il est stable pour les opérations V et /\. Montrer que l'ensemble N'(G) des sous-groupes de G qui sont normaux dans
G est un sous-treillis de .C(G).
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