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Théorie des groupes
6.3.2 Blocs
Soit un groupe transitif G agissant sur un ensemble X. On peut faire agir G sur les sousensembles de X et l'on appelle bloc un sous-ensemble B de X tel que
Vg E G, g.B =Boug.BnB = 0
1) Montrer qu'alors l'ensemble des g.B forme une partition de X par des blocs. On nomme
parfois cette partition un système de blocs. Dans le cas où X et G sont finis, que peut-on
dire du cardinal d'un bloc?
2) On fait agir le groupe diédral sur les sommets d'un carré, quels sont tous les systèmes de
blocs?
3) Soit x un élément de X, G x son stabilisateur. Montrer que tout bloc contenant x est de la
forme H.x où H est un sous-groupe de G vérifiant G x :;;; H:;;; G.
4) Examiner les blocs déterminés par l'action du groupe cyclique engendré par une permutation circulaire.
5) Un groupe transitif est dit primitif s'il n'a aucun système de blocs non trivial (i.e. formé
de singletons ou de X tout entier). Montrer qu'un groupe G est primitif ssi le stabilisateur
d'un élément est un sous-groupe maximal de G.
6) Montrer qu'un groupe 2-transitif est primitif. Un groupe est 2-transitif s'il agit sur un
ensemble X de sorte que
Vx, x' , y, y' EX, x =I y, x =I y' => 3g E G g.x = x' et g.y = y'
On pourra se reporter à l'exercice 3. 1.16 pour cette définition.
6.3.3 Simplicité des groupes spéciaux projectifs linéaires
Nous allons utiliser les notions précédentes pour trouver une nouvelle famille de groupes
simples, les groupes PSL(n, K). Pour une définition, voir le problème 3.5. 1.
1) On suppose que G est égal à son groupe dérivé (il est donc parfait), et qu'il agit fidèlement
sur un ensemble X, par une action transitive et primitive.
Soit x un élément de X; on suppose également qu'il existe un sous-groupe A commutatif
et normal dans G x , tel que G soit engendré par l'union des conjugués de A. Avec toutes ces
hypothèses ... G est un groupe simple. Cela constitue le critère d'Iwasawa. On appellera N
un sous-groupe normal de G, non trivial, et l'on passera par les étapes suivantes:
- montrer que N.x est un bloc, et en déduire que N agit transitivement sur X;
- montrer que NG x = G ;
- montrer que NA = G ;
- montrer que G /N est commutatif.
2) On veut montrer que les groupes PSL(n, K) sont simples, sauf dans les deux cas
PSL(2, IF 2) et PSL(2, IF 3 ). Il est bien entendu que n � 2.
a) Montrer que PSL(n, II{) agit 2-transitivement sur les droites de II{", et en déduire qu'il
est primitif. Vérifier également que l'action est fidèle.
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Théorie des groupes
6.3.2 Blocs
Soit un groupe transitif G agissant sur un ensemble X. On peut faire agir G sur les sousensembles de X et l'on appelle bloc un sous-ensemble B de X tel que
Vg E G, g.B =Boug.BnB = 0
1) Montrer qu'alors l'ensemble des g.B forme une partition de X par des blocs. On nomme
parfois cette partition un système de blocs. Dans le cas où X et G sont finis, que peut-on
dire du cardinal d'un bloc?
2) On fait agir le groupe diédral sur les sommets d'un carré, quels sont tous les systèmes de
blocs?
3) Soit x un élément de X, G x son stabilisateur. Montrer que tout bloc contenant x est de la
forme H.x où H est un sous-groupe de G vérifiant G x :;;; H:;;; G.
4) Examiner les blocs déterminés par l'action du groupe cyclique engendré par une permutation circulaire.
5) Un groupe transitif est dit primitif s'il n'a aucun système de blocs non trivial (i.e. formé
de singletons ou de X tout entier). Montrer qu'un groupe G est primitif ssi le stabilisateur
d'un élément est un sous-groupe maximal de G.
6) Montrer qu'un groupe 2-transitif est primitif. Un groupe est 2-transitif s'il agit sur un
ensemble X de sorte que
Vx, x' , y, y' EX, x =I y, x =I y' => 3g E G g.x = x' et g.y = y'
On pourra se reporter à l'exercice 3. 1.16 pour cette définition.
6.3.3 Simplicité des groupes spéciaux projectifs linéaires
Nous allons utiliser les notions précédentes pour trouver une nouvelle famille de groupes
simples, les groupes PSL(n, K). Pour une définition, voir le problème 3.5. 1.
1) On suppose que G est égal à son groupe dérivé (il est donc parfait), et qu'il agit fidèlement
sur un ensemble X, par une action transitive et primitive.
Soit x un élément de X; on suppose également qu'il existe un sous-groupe A commutatif
et normal dans G x , tel que G soit engendré par l'union des conjugués de A. Avec toutes ces
hypothèses ... G est un groupe simple. Cela constitue le critère d'Iwasawa. On appellera N
un sous-groupe normal de G, non trivial, et l'on passera par les étapes suivantes:
- montrer que N.x est un bloc, et en déduire que N agit transitivement sur X;
- montrer que NG x = G ;
- montrer que NA = G ;
- montrer que G /N est commutatif.
2) On veut montrer que les groupes PSL(n, K) sont simples, sauf dans les deux cas
PSL(2, IF 2) et PSL(2, IF 3 ). Il est bien entendu que n � 2.
a) Montrer que PSL(n, II{) agit 2-transitivement sur les droites de II{", et en déduire qu'il
est primitif. Vérifier également que l'action est fidèle.
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