6 • Problèmes supplémentaires
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Que peut-on dire de(G)? En déduire tous les sous-groupes finis de !HI* qui ne contiennent
pas -1.
3) Dans le cas où G contient -1, montrer qu'il admet la présentation:
G = ( a , b, c I a P = b q = c
r
= abc, (abc/ = I)
avec (p, q, r) de la forme (p,p, 1), (2, 2, r), (2, 3, 3), (2, 3, 4) et (2, 3, 5). On note parfois ces
groupes (p, q, r) et l'on les appelle groupes binaires polyédraux.
4) Reconnaître (p, p, 1 ), et montrer que (2, 2, 2) est un groupe dicyclique (cf. 2.3.5). Les trois
autres groupes (3, 3, 2), (4, 3, 2), (5, 3, 2) ont respectivement 24, 48 et 120 éléments, et se
nomment groupes binaires tétraédral, octaédral, icosaédral.
5) Montrer directement que si G' est le groupe défini par :
G' = ( a , b, c I a P = b
3
= c
2
= abc)
alors (abc)
2
= 1. En déduire une présentation plus économique des groupes binaires polyédraux.
6.3 TRANSITIVITÉ, BLOCS, GROUPES PRIMITIFS
6.3.1 Groupes transitifs
Ici, nous nous intéresserons à l'action de groupes finis, en étudiant de nouvelles notions liées
à la transitivité. Le cadre général du problème sera plus précisément l'action des sous-groupes
de S 11 sur X = {l, 2, ... , n}. Rappelons que S11 et A 11 agissent transitivement sur X. On dira
plus rapidement qu'ils sont transitifs.
1) Pour n = 3, vérifier que ce sont les seuls sous-groupes transitifs.
2) Pour n quelconque, montrer que le cardinal d'un groupe transitif est un multiple de n.
3) Montrer que les sous-groupes transitifs de S 4 sont, outre S 4 lui-même et À4 :
- ((1, 2, 3, 4)) et ses conjugués.
- V = { e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3) }, le groupe engendré par les doubles transpositions.
- ((1, 2, 3, 4), (1, 3)) et ses conjugués, qui sont les 2-Sylow, isomorphes à ]0) 8 .
Cas n= 5:
1). Montrer que le normalisateur dans S 5 de ((1, 2, 3, 4, 5)) est le groupe à 20 éléments
(( 1, 2, 3, 4, 5), (1, 4, 2, 3)) , isomorphe à l'holomorphe de Z/5 c'est-à-dire à GA (l, IF 5 ).
2) Montrer que S5 n'a pas de sous-groupe transitif à plus de 20 éléments, autre que le groupe
alterné. On utilisera l'action de S 5 sur le quotient.
3) En déduire que les sous-groupes transitifs de S 5 sont :
((1, 2, 3, 4, 5)) de cardinal 5 et ses conjugués.
((1, 2, 3, 4, 5), (1, 2)(4, 3)) de cardinal 10 et ses conjugués.
((1, 2, 3, 4, 5), (1, 4, 2, 3)) de cardinal 20 et ses conjugués.
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Que peut-on dire de
pas -1.
3) Dans le cas où G contient -1, montrer qu'il admet la présentation:
G = ( a , b, c I a P = b q = c
r
= abc, (abc/ = I)
avec (p, q, r) de la forme (p,p, 1), (2, 2, r), (2, 3, 3), (2, 3, 4) et (2, 3, 5). On note parfois ces
groupes (p, q, r) et l'on les appelle groupes binaires polyédraux.
4) Reconnaître (p, p, 1 ), et montrer que (2, 2, 2) est un groupe dicyclique (cf. 2.3.5). Les trois
autres groupes (3, 3, 2), (4, 3, 2), (5, 3, 2) ont respectivement 24, 48 et 120 éléments, et se
nomment groupes binaires tétraédral, octaédral, icosaédral.
5) Montrer directement que si G' est le groupe défini par :
G' = ( a , b, c I a P = b
3
= c
2
= abc)
alors (abc)
2
= 1. En déduire une présentation plus économique des groupes binaires polyédraux.
6.3 TRANSITIVITÉ, BLOCS, GROUPES PRIMITIFS
6.3.1 Groupes transitifs
Ici, nous nous intéresserons à l'action de groupes finis, en étudiant de nouvelles notions liées
à la transitivité. Le cadre général du problème sera plus précisément l'action des sous-groupes
de S 11 sur X = {l, 2, ... , n}. Rappelons que S11 et A 11 agissent transitivement sur X. On dira
plus rapidement qu'ils sont transitifs.
1) Pour n = 3, vérifier que ce sont les seuls sous-groupes transitifs.
2) Pour n quelconque, montrer que le cardinal d'un groupe transitif est un multiple de n.
3) Montrer que les sous-groupes transitifs de S 4 sont, outre S 4 lui-même et À4 :
- ((1, 2, 3, 4)) et ses conjugués.
- V = { e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3) }, le groupe engendré par les doubles transpositions.
- ((1, 2, 3, 4), (1, 3)) et ses conjugués, qui sont les 2-Sylow, isomorphes à ]0) 8 .
Cas n= 5:
1). Montrer que le normalisateur dans S 5 de ((1, 2, 3, 4, 5)) est le groupe à 20 éléments
(( 1, 2, 3, 4, 5), (1, 4, 2, 3)) , isomorphe à l'holomorphe de Z/5 c'est-à-dire à GA (l, IF 5 ).
2) Montrer que S5 n'a pas de sous-groupe transitif à plus de 20 éléments, autre que le groupe
alterné. On utilisera l'action de S 5 sur le quotient.
3) En déduire que les sous-groupes transitifs de S 5 sont :
((1, 2, 3, 4, 5)) de cardinal 5 et ses conjugués.
((1, 2, 3, 4, 5), (1, 2)(4, 3)) de cardinal 10 et ses conjugués.
((1, 2, 3, 4, 5), (1, 4, 2, 3)) de cardinal 20 et ses conjugués.
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