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Théorie des groupes
(commutatifs) d'une réflexion et d'une rotation d'axe orthogonal au plan de la réflexion ; dans
le cas particulier d'un demi-tour (rotation d'angle 'IT), on obtient -id.
1) Soit G un tel sous-groupe fini. Montrer que G
+
= G n S0(3) est un sous-groupe d'indice
1 ou 2 de G.
2) Si G = G
+
, on obtient donc les sous-groupes finis vus ci-dessus. Décrire quelques objets
qui admettent ces sous-groupes comme groupes d'isométries.
3) On suppose que G
+
est d'indice 2 dans G. Montrer que si G contient -id, alors G est un
produit direct de { ±id} avec un des groupes de la section précédente. Préciser les groupes
obtenus.
4) On suppose toujours que G
+
est d'indice 2 dans G, mais que G ne contient pas -id.
Étudier le groupe r = (G, -id) et en déduire que G est de la forme G =HU -idH où H
est un sous-groupe d'indice 2 d'un sous-groupe fini de S0(3). Préciser, le plus possible,
les groupes obtenus.
5) Rechercher les groupes d'isométrie des solides de Platon parmi les groupes décrits précédemment.
6.2.4 Groupes polyédraux
Soient p, q, r trois entiers. On note (p, q, r) le groupe de présentation :
( a , b, c I a P = bq = c
,
. =abc = 1 )
et l'on appelle groupes polyédraux les groupes ayant une telle présentation.
1) Trouver une présentation ayant seulement deux générateurs.
2) Reconnaître (p, p, 1).
3) Montrer que (2, 2, r) est le groupe ID>z,..
4) On considère les groupes polyédraux suivants : (2, 3, 3) ; (2, 3, 4) ; (2, 3, 5).
Montrer que le premier est fini et est isomorphe au groupe tétraédral T.
5) Montrer que le second est fini, isomorphe au groupe octaédral O. On pourra chercher un
sous-groupe normal isomorphe au groupe tétraédral.
6) En admettant que le troisième groupe est fini d'ordre 60, montrer qu'il est isomorphe
au groupe icosaédral I. On peut montrer que ce sont les seuls groupes polyédraux finis ;
chercher un modèle du groupe (3 , 3, 3) en utilisant des rotations planes.
6.2.5 Groupes binaires polyédraux
Dans ce paragraphe, on s'intéresse aux sous-groupes finis du groupe multiplicatif des quaternions non nuls, IHI*. On utilisera, pour cela, les résultats du problème 3.5.2. Soit G un
sous-groupe fini du groupe des quaternions.
1) Montrer que G est un sous-ensemble du groupe des quaternions unitaires. On notera H ce
groupe.
2) Soit cl> l'application de H dans S0(3 , IR) définie par cl>( q ) = r où r est la rotation :
r(x) = qxq1
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Théorie des groupes
(commutatifs) d'une réflexion et d'une rotation d'axe orthogonal au plan de la réflexion ; dans
le cas particulier d'un demi-tour (rotation d'angle 'IT), on obtient -id.
1) Soit G un tel sous-groupe fini. Montrer que G
+
= G n S0(3) est un sous-groupe d'indice
1 ou 2 de G.
2) Si G = G
+
, on obtient donc les sous-groupes finis vus ci-dessus. Décrire quelques objets
qui admettent ces sous-groupes comme groupes d'isométries.
3) On suppose que G
+
est d'indice 2 dans G. Montrer que si G contient -id, alors G est un
produit direct de { ±id} avec un des groupes de la section précédente. Préciser les groupes
obtenus.
4) On suppose toujours que G
+
est d'indice 2 dans G, mais que G ne contient pas -id.
Étudier le groupe r = (G, -id) et en déduire que G est de la forme G =HU -idH où H
est un sous-groupe d'indice 2 d'un sous-groupe fini de S0(3). Préciser, le plus possible,
les groupes obtenus.
5) Rechercher les groupes d'isométrie des solides de Platon parmi les groupes décrits précédemment.
6.2.4 Groupes polyédraux
Soient p, q, r trois entiers. On note (p, q, r) le groupe de présentation :
( a , b, c I a P = bq = c
,
. =abc = 1 )
et l'on appelle groupes polyédraux les groupes ayant une telle présentation.
1) Trouver une présentation ayant seulement deux générateurs.
2) Reconnaître (p, p, 1).
3) Montrer que (2, 2, r) est le groupe ID>z,..
4) On considère les groupes polyédraux suivants : (2, 3, 3) ; (2, 3, 4) ; (2, 3, 5).
Montrer que le premier est fini et est isomorphe au groupe tétraédral T.
5) Montrer que le second est fini, isomorphe au groupe octaédral O. On pourra chercher un
sous-groupe normal isomorphe au groupe tétraédral.
6) En admettant que le troisième groupe est fini d'ordre 60, montrer qu'il est isomorphe
au groupe icosaédral I. On peut montrer que ce sont les seuls groupes polyédraux finis ;
chercher un modèle du groupe (3 , 3, 3) en utilisant des rotations planes.
6.2.5 Groupes binaires polyédraux
Dans ce paragraphe, on s'intéresse aux sous-groupes finis du groupe multiplicatif des quaternions non nuls, IHI*. On utilisera, pour cela, les résultats du problème 3.5.2. Soit G un
sous-groupe fini du groupe des quaternions.
1) Montrer que G est un sous-ensemble du groupe des quaternions unitaires. On notera H ce
groupe.
2) Soit cl> l'application de H dans S0(3 , IR) définie par cl>( q ) = r où r est la rotation :
r(x) = qxq1
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