6 • Problèmes supplémentaires
163
6) La question précédente permet de ramener la recherche des groupes finis d'isométries aux
sous-groupes finis de O(n), groupe des transformations orthogonales de l'espace vectoriel
euclidien de dimension n. Démontrer que les sous-groupes finis de 0(2) sont isomorphes
aux groupes cycliques ou aux groupes diédraux.
6.2.2 Sous-groupes finis de S0(3)
On rappelle que les éléments de S0(3) sont les rotations, caractérisées par un axe (orienté) et
un angle, ainsi que l'identité.
1) Soit G un sous-groupe fini de S0(3). On appelle pôle d'une rotation un des points d'intersection de l'axe de la rotation avec la sphère unité S
2
• Montrer que G agit sur l'ensemble
P des pôles de G.
2) Soit k le nombre des orbites pour cette action, n le cardinal de G. On considère un élément
x de P, et l'on note G x son stabilisateur. Montrer que G x est cyclique et que son cardinal
n x vérifie :
2 � n x � n
3) Soient x 1 , x2, ••• x k des représentants des différentes orbites et n; le cardinal du stabilisateur
de x;. En utilisant la formule de Burnside (3.1.17), démontrer la relation :
n t
( 1 - � ) = 2(n - 1)
i= I
1
4) En utilisant des « considérations arithmétiques », montrer que k = 1 puis k ;;i: 4 sont
impossibles, puis que la relation qui vient d'être trouvée ne peut être satisfaite que dans
les cas suivants :
- il y a deux orbites et n 1 = n2 = n;
- il y a trois orbites et les stabilisateurs ont pour cardinaux :
a) 2, 2, �, et donc n est pair.
b) 2, 3, 3, et n = 12.
c) 2, 3, 4, et n = 24.
d) 2, 3, 5, et n = 60.
5) Dans le premier cas, montrer que le groupe G est formé de rotations de même axe, le
décrire et proposer un objet de l'espace dont ce soit le groupe des rotations.
6) Étudier de même le a) du second cas.
7) Vérifier que le groupe des rotations d'un tétraèdre régulier correspond bien à la description
b), et prouver qu'il n'y a pas d'autre possibilité.
8) Vérifier de même que les cas c) et d) correspondent respectivement au groupe des rotations
conservant un cube (ou un octaèdre) et un dodécaèdre (ou un icosaèdre) réguliers. À quels
groupes« connus» sont-ils isomorphes ?
6.2.3 Sous-groupes finis de 0(3)
On s'intéresse maintenant aux sous-groupes finis de 0(3). Il y a donc, en plus des rotations,
les réflexions, et les réflexions rotatoires qui, comme leur nom l'indique, sont des composés
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6) La question précédente permet de ramener la recherche des groupes finis d'isométries aux
sous-groupes finis de O(n), groupe des transformations orthogonales de l'espace vectoriel
euclidien de dimension n. Démontrer que les sous-groupes finis de 0(2) sont isomorphes
aux groupes cycliques ou aux groupes diédraux.
6.2.2 Sous-groupes finis de S0(3)
On rappelle que les éléments de S0(3) sont les rotations, caractérisées par un axe (orienté) et
un angle, ainsi que l'identité.
1) Soit G un sous-groupe fini de S0(3). On appelle pôle d'une rotation un des points d'intersection de l'axe de la rotation avec la sphère unité S
2
• Montrer que G agit sur l'ensemble
P des pôles de G.
2) Soit k le nombre des orbites pour cette action, n le cardinal de G. On considère un élément
x de P, et l'on note G x son stabilisateur. Montrer que G x est cyclique et que son cardinal
n x vérifie :
2 � n x � n
3) Soient x 1 , x2, ••• x k des représentants des différentes orbites et n; le cardinal du stabilisateur
de x;. En utilisant la formule de Burnside (3.1.17), démontrer la relation :
n t
( 1 - � ) = 2(n - 1)
i= I
1
4) En utilisant des « considérations arithmétiques », montrer que k = 1 puis k ;;i: 4 sont
impossibles, puis que la relation qui vient d'être trouvée ne peut être satisfaite que dans
les cas suivants :
- il y a deux orbites et n 1 = n2 = n;
- il y a trois orbites et les stabilisateurs ont pour cardinaux :
a) 2, 2, �, et donc n est pair.
b) 2, 3, 3, et n = 12.
c) 2, 3, 4, et n = 24.
d) 2, 3, 5, et n = 60.
5) Dans le premier cas, montrer que le groupe G est formé de rotations de même axe, le
décrire et proposer un objet de l'espace dont ce soit le groupe des rotations.
6) Étudier de même le a) du second cas.
7) Vérifier que le groupe des rotations d'un tétraèdre régulier correspond bien à la description
b), et prouver qu'il n'y a pas d'autre possibilité.
8) Vérifier de même que les cas c) et d) correspondent respectivement au groupe des rotations
conservant un cube (ou un octaèdre) et un dodécaèdre (ou un icosaèdre) réguliers. À quels
groupes« connus» sont-ils isomorphes ?
6.2.3 Sous-groupes finis de 0(3)
On s'intéresse maintenant aux sous-groupes finis de 0(3). Il y a donc, en plus des rotations,
les réflexions, et les réflexions rotatoires qui, comme leur nom l'indique, sont des composés
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