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Théorie des groupes
6) On suppose que l'action de G sur X est fidèle et transitive. Rechercher le centre de W.
On traitera le cas restreint et le cas complet. En prenant pour H le groupe 'll../p et pour
G le p-groupe de Prüfer, montrer que le produit en couronne restreint est un exemple de
p-groupe dont le centre est trivial.
7) Soit W le produit en couronne 'll../2 w 'll.., où l'on prend X = 'll.. que l'on fait agir sur luimême par translation à gauche; ce produit s'appelle le produit en couronne régulier. Les
éléments de W sont donc des couples ((u,,), k) où (u , ,) est une suite indexée par 'll., à valeur
dans 'll../2, et k un élément de Z. Soit K l'ensemble des couples pour lesquels (u , ,) est
nulle sur les entiers strictement négatifs, et k est toujours nul. Montrer que K est un sousgroupe de W et étudier ses conjugués. En déduire un exemple de sous-groupe contenant
strictement un de ses conjugués.
6.2 GROUPES POLYÉDRAUX ET BINAIRES POLYÉDRAUX
Dans ce problème, nous allons étudier des groupes qui ont une grande importance en
géométrie; ils sont liés aux célèbres solides de Platon (dans l'ordre tétraèdre, cube ou
hexaèdre, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre) qui sont les cinq seuls polyèdres réguliers.
On admettra leur existence et leurs propriétés géométriques de base. À chacun de ces
polyèdres, on associe le groupe des isométries qui le conservent. Bien que nous soyons
surtout intéressés par l'aspect « groupe » de ce problème, un minimum de connaissances
géométriques est prérequis.
6.2.1 Groupe d'isométries conservant un ensemble
Soit f; un espace affine euclidien, Sun sous-ensemble. Une façon mathématique de mesurer
le « degré de symétrie de S » est de déterminer l'ensemble des isométries g qui conservent S,
c'est-à-dire qui vérifient g(S) = S.
1) Traduire l'énoncé précédent en termes d'action de groupe. En déduire que l'ensemble des
isométries qui conservent S est un groupe, que l'on notera ls , et qu'on appellera groupe
d'isométries de S.
2) f; est un plan. Déterminer le groupe d'isométries des figures ci-dessous.
- Une droite.
- Un cercle.
- Un carré.
- Un rectangle.
- Un triangle « quelconque ».
3) Vérifier que le groupe des isométries qui conservent un polygone régulier à n côtés est un
groupe isomorphe au groupe diédral 1[]) 2 ,,.
4) On suppose que S est un ensemble fini. Montrer que les éléments de ls ont un point fixe
commun. À quelle condition ls est-il fini?
5) Montrer que toutes les isométries d'un sous-groupe fini ont un point invariant commun.
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6) On suppose que l'action de G sur X est fidèle et transitive. Rechercher le centre de W.
On traitera le cas restreint et le cas complet. En prenant pour H le groupe 'll../p et pour
G le p-groupe de Prüfer, montrer que le produit en couronne restreint est un exemple de
p-groupe dont le centre est trivial.
7) Soit W le produit en couronne 'll../2 w 'll.., où l'on prend X = 'll.. que l'on fait agir sur luimême par translation à gauche; ce produit s'appelle le produit en couronne régulier. Les
éléments de W sont donc des couples ((u,,), k) où (u , ,) est une suite indexée par 'll., à valeur
dans 'll../2, et k un élément de Z. Soit K l'ensemble des couples pour lesquels (u , ,) est
nulle sur les entiers strictement négatifs, et k est toujours nul. Montrer que K est un sousgroupe de W et étudier ses conjugués. En déduire un exemple de sous-groupe contenant
strictement un de ses conjugués.
6.2 GROUPES POLYÉDRAUX ET BINAIRES POLYÉDRAUX
Dans ce problème, nous allons étudier des groupes qui ont une grande importance en
géométrie; ils sont liés aux célèbres solides de Platon (dans l'ordre tétraèdre, cube ou
hexaèdre, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre) qui sont les cinq seuls polyèdres réguliers.
On admettra leur existence et leurs propriétés géométriques de base. À chacun de ces
polyèdres, on associe le groupe des isométries qui le conservent. Bien que nous soyons
surtout intéressés par l'aspect « groupe » de ce problème, un minimum de connaissances
géométriques est prérequis.
6.2.1 Groupe d'isométries conservant un ensemble
Soit f; un espace affine euclidien, Sun sous-ensemble. Une façon mathématique de mesurer
le « degré de symétrie de S » est de déterminer l'ensemble des isométries g qui conservent S,
c'est-à-dire qui vérifient g(S) = S.
1) Traduire l'énoncé précédent en termes d'action de groupe. En déduire que l'ensemble des
isométries qui conservent S est un groupe, que l'on notera ls , et qu'on appellera groupe
d'isométries de S.
2) f; est un plan. Déterminer le groupe d'isométries des figures ci-dessous.
- Une droite.
- Un cercle.
- Un carré.
- Un rectangle.
- Un triangle « quelconque ».
3) Vérifier que le groupe des isométries qui conservent un polygone régulier à n côtés est un
groupe isomorphe au groupe diédral 1[]) 2 ,,.
4) On suppose que S est un ensemble fini. Montrer que les éléments de ls ont un point fixe
commun. À quelle condition ls est-il fini?
5) Montrer que toutes les isométries d'un sous-groupe fini ont un point invariant commun.
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