6 • Problèmes supplément aires
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Figure 6.2 Couronne hexagonale
5) Montrer que S 111 w S 11 peut s'identifier à un sous-groupe de S 11111 • En déduire que (mn) ! est
divisible par (m ! )"n ! .
6.1.3 Le cas général
Pour généraliser encore notre construction, on se donne :
- un groupe G agissant (à gauche) sur un ensemble X;
- un groupe H.
Rappelons que l'on note H
x
l'ensemble des applications de X dans H. C'est un groupe pour
l'opération induite par H. Sif etf' sont des éléments de H
x
, alorsff' est l'application définie
par ff'(x) = f(x'J!'(x).
Considérons alors le produit semi-direct W = H
x
><1<1> G où l'action est définie par :
\I f E H
x
, \/cr E G, crf : x 1--+ f(cr -
1
.x)
On note ce produit semi-direct : H w x G. Le groupe H
x
x {e} que l'on identifie à H
x
s'appelle
groupe de base du produit semi-direct. C'est, comme dans tout produit semi-direct, un sousgroupe normal de W.
1) Vérifier que les constructions précédentes entrent dans ce cadre.
2) Montrer que G s'identifie à un sous-groupe G* de W, que l'on précisera. Montrer aussi
qu'il existe des sous-groupes de W isomorphes à H.
3) On note H* le sous-groupe du groupe de base formé des applications.fi,, telles que :
\lx E X, .fi.(x) = h où h E H
Ce sont donc les applications constantes. Montrer que c'est un sous-groupe de W, isomorphe à H. Que dire de H*G* ?
4) On suppose que H agit sur un ensemble Y. Montrer que le produit en couronne W agit sur
y
x
,par :
-
-
1
(f, g).lj, = lj, où lj,(x) = f(x) .lj,(g- .x)
où lj, est un élément de y
x
. Reconnaître les actions par restriction de G * et de H*.
5) Si l'on note ffC
X l l'ensemble des applications de X dans R qui prennent la valeur e pour
presque tous les éléments de X, on obtient, par la même construction, un produit en couronne dit restreint. Montrer que c'est un sous-groupe du produit en couronne, que l'on
peut alors appeler produit complet. Le produit en couronne restreint est-il un sous-groupe
normal du produit complet ?
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