160
Théorie des groupes
6) Vérifier que B! est isomorphe au groupe des isométries directes qui conservent un cube,
tandis que B3 est isomorphe au groupe de toutes les isométries qui conservent un cube.
Interpréter, dans ce cadre, les sous-groupes D 3 et G3. On l'appelle groupe octaédral.
7) Peut-on généraliser la définition géométrique de la question précédente? On cherchera à
définir un « hypercube » dans un espace de dimension quelconque.
6.1.2 Un cas plus général
On considère G un sous-groupe de S,,, n � 2, et H un groupe quelconque. On appelle produit
en couronne de H par G le produit semi-direct W = H" >4cf> G où l'action de G sur H" est
l'action à gauche :
(cf. 3. 1.8). Nous noterons le produit en couronne W = H w G
1
.
1) Montrer que les groupes B,, entrent dans cette description.
2) Montrer qu'il existe dans W des sous-groupes isomorphes à G, à H. Sont-ce des sousgroupes normaux ?
3) On considère les groupes cycliques Z/n comme sous-groupes de S,,, engendrés par la permutation circulaire (1 , 2, ... , n). Définir les groupes Z/m w Z/n. « produit en couronne».
4) Soit r un graphe, autrement dit un ensemble fini formé de sommets (S;) muni d'une relation n d'adjacence; n est symétrique, et l'on n'a jamais sns. Si les sommets sont des
points du plan, on peut représenter cette relation en reliant les sommets adjacents, l'arête
étant une paire de sommets distincts. On appelle alors automorphisme de graphe une
bijection de l'ensemble des sommets dans lui-même, telle que:
Les produits en couronne sont souvent représentables comme des groupes d'automorphismes de graphes, comme le montrent les exemples suivants :
a) Déterminer les groupes d'automorphismes des deux arbres de la figure 6. 1, et les
identifier comme produits en couronne.
y
Figure 6.1 Arbres
b) Déterminer, de même, le groupe d'automorphisme de la « couronne » de la figure 6.2.
1. W est l'initiale de « wreath », le mot anglais pour couronne.
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
6) Vérifier que B! est isomorphe au groupe des isométries directes qui conservent un cube,
tandis que B3 est isomorphe au groupe de toutes les isométries qui conservent un cube.
Interpréter, dans ce cadre, les sous-groupes D 3 et G3. On l'appelle groupe octaédral.
7) Peut-on généraliser la définition géométrique de la question précédente? On cherchera à
définir un « hypercube » dans un espace de dimension quelconque.
6.1.2 Un cas plus général
On considère G un sous-groupe de S,,, n � 2, et H un groupe quelconque. On appelle produit
en couronne de H par G le produit semi-direct W = H" >4cf> G où l'action de G sur H" est
l'action à gauche :
(cf. 3. 1.8). Nous noterons le produit en couronne W = H w G
1
.
1) Montrer que les groupes B,, entrent dans cette description.
2) Montrer qu'il existe dans W des sous-groupes isomorphes à G, à H. Sont-ce des sousgroupes normaux ?
3) On considère les groupes cycliques Z/n comme sous-groupes de S,,, engendrés par la permutation circulaire (1 , 2, ... , n). Définir les groupes Z/m w Z/n. « produit en couronne».
4) Soit r un graphe, autrement dit un ensemble fini formé de sommets (S;) muni d'une relation n d'adjacence; n est symétrique, et l'on n'a jamais sns. Si les sommets sont des
points du plan, on peut représenter cette relation en reliant les sommets adjacents, l'arête
étant une paire de sommets distincts. On appelle alors automorphisme de graphe une
bijection de l'ensemble des sommets dans lui-même, telle que:
Les produits en couronne sont souvent représentables comme des groupes d'automorphismes de graphes, comme le montrent les exemples suivants :
a) Déterminer les groupes d'automorphismes des deux arbres de la figure 6. 1, et les
identifier comme produits en couronne.
y
Figure 6.1 Arbres
b) Déterminer, de même, le groupe d'automorphisme de la « couronne » de la figure 6.2.
1. W est l'initiale de « wreath », le mot anglais pour couronne.
www.bibliomath.com