Chapitre 6
Problèmes supplémentaires
Les problèmes que nous proposons ici ne se rattachent pas directement à l'un des chapitres. De difficulté variée et de longueur raisonnable, ils constituent un bon entraînement
qui met en pratique les techniques et les notions déjà rencontrées.
6.1 LES PRODUITS EN COURONNE
6.1.1 Un exemple
1) Fixons l'entier n, et soit G,. le groupe des matrices de permutations, (cf. 3. 1 .9). On définit
un nouvel ensemble de matrices, B,., en posant:
{m· · - 0 sii =I rr(J)
ME B,. {=} 3rr E S1 1 , 3(a; ) E { -1, 1 } " ,
m
,
� =
a
·
IJ- ,
si i= rr(j)
où on a noté mii les coefficients de la matrice M. Vérifier que B,. est un groupe. Quel est
son cardinal ? On le nomme groupe hyperoctaédral.
2) Montrer que G,. est un sous-groupe de B,.. Est-il normal dans B,.? Soit D 11 l'ensemble des
matrices diagonales dont les coefficients diagonaux sont pris dans { 1, -1 } . Montrer que
c'est un sous-groupe de B,.. Est-il normal dans B,.?
3) Montrer que B,. = D 11 > G, .. On précisera l'action ,
4) Reconnaître les groupes B I et B 2 .
5) On suppose ici que n = 3. Montrer que l'ensemble B 3 des matrices de B 3 ayant un déterminant égal à 1 est un sous-groupe normal de B 3 , et que B 3 '::t B 3 x '11.,/2.
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