158
Théorie des groupes
De plus, si (G;+ 1 /N)/(G;/N) est commutatif, il en va de même pour G;+ 1 /G; d'après le troisième théorème d'isomorphisme. La réunion des deux suites (N;) et (G;) donne une suite de
composition à facteurs commutatifs pour G.
On peut conclure de ce raisonnement qu'une extension de groupes résolubles est un groupe
résoluble : un produit direct, un produit semi-direct de groupes résolubles, est résoluble.
Il n'en va pas de même pour les groupes nilpotents (à part le cas du produit direct), et le
groupe résoluble S3 sert encore de contre-exemple. Bien qu'extension de deux groupes commutatifs, donc nilpotents, (Z/3 et Z/2), il n'est pas nilpotent.
5.3.12 1) En ce qui concerne GL(2, IF 2 ), c'est vite réglé car ce groupe est isomorphe à S 3
qui est résoluble, cf. 5.3.8.
2) Reprenons des arguments utilisés dans le problème 3.5.1 du chapitre 3. Le groupe linéaire
GL(2, IF 3 ) agit sur l'ensemble des quatre droites du plan IF� ; le noyau de cette action est
le centre qui a deux éléments ±id. On en déduit une action fidèle de GL(2, IF 3 )/ { ±id} qui
a 24 éléments sur l'ensemble des quatre droites. En définitive, ce quotient est isomorphe à
S 4 et notre groupe est résoluble en tant qu'extension de deux groupes résolubles.
5.3.13 1) Les groupes finis commutatifs ont des suites de composition avec des facteurs
cycliques, voir les décompositions du chapitre 4. Mais, plus généralement, tout groupe
fini résoluble est polycyclique. À partir d'une suite de composition commutative, on peut
construire une suite de Jordan-Hôlder par raffinement ; mais cette suite aura des facteurs
qui sont des quotients des facteurs initiaux commutatifs, et qui sont simples. Ce sont donc
des groupes cycliques d'ordre premier.
2) Il suffit de reprendre mot pour mot les démonstrations faites pour les groupes résolubles,
en changeant« commutatif» en« cyclique».
3) On considère une suite de composition cyclique d'un groupe G qui admet k facteurs monogènes infinis. Alors tout raffinement admet encore k facteurs monogènes infinis. En effet,
si H
isomorphe à un quotient de Z, donc cyclique. On a conservé le nombre des facteurs monogènes infinis. Si maintenant on considère deux suites de compositions cycliques, elles
ont des raffinements équivalents, et, donc, même nombre de facteurs monogènes infinis.
4) Examinons le cas où la suite est de longueur deux :
{e} ---t H ---t G
avec donc H cyclique et G /H cyclique. Si un générateur de H est x et un générateur de
G /H est yH, tout élément de G est dans une classe /H et peut donc s'écrire I x
e
, le groupe
est engendré par deux éléments. Cette analyse s'étend rapidement au cas d'une suite de
composition cyclique de longueur n.
On déduit de ce résultat qu'il existe des groupes résolubles qui ne sont pas polycycliques,
il suffit de prendre des groupes résolubles qui ne sont pas de type fini. C'est possible, ne
serait-ce qu'en prenant un groupe commutatif qui n'est pas de type fini.
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
De plus, si (G;+ 1 /N)/(G;/N) est commutatif, il en va de même pour G;+ 1 /G; d'après le troisième théorème d'isomorphisme. La réunion des deux suites (N;) et (G;) donne une suite de
composition à facteurs commutatifs pour G.
On peut conclure de ce raisonnement qu'une extension de groupes résolubles est un groupe
résoluble : un produit direct, un produit semi-direct de groupes résolubles, est résoluble.
Il n'en va pas de même pour les groupes nilpotents (à part le cas du produit direct), et le
groupe résoluble S3 sert encore de contre-exemple. Bien qu'extension de deux groupes commutatifs, donc nilpotents, (Z/3 et Z/2), il n'est pas nilpotent.
5.3.12 1) En ce qui concerne GL(2, IF 2 ), c'est vite réglé car ce groupe est isomorphe à S 3
qui est résoluble, cf. 5.3.8.
2) Reprenons des arguments utilisés dans le problème 3.5.1 du chapitre 3. Le groupe linéaire
GL(2, IF 3 ) agit sur l'ensemble des quatre droites du plan IF� ; le noyau de cette action est
le centre qui a deux éléments ±id. On en déduit une action fidèle de GL(2, IF 3 )/ { ±id} qui
a 24 éléments sur l'ensemble des quatre droites. En définitive, ce quotient est isomorphe à
S 4 et notre groupe est résoluble en tant qu'extension de deux groupes résolubles.
5.3.13 1) Les groupes finis commutatifs ont des suites de composition avec des facteurs
cycliques, voir les décompositions du chapitre 4. Mais, plus généralement, tout groupe
fini résoluble est polycyclique. À partir d'une suite de composition commutative, on peut
construire une suite de Jordan-Hôlder par raffinement ; mais cette suite aura des facteurs
qui sont des quotients des facteurs initiaux commutatifs, et qui sont simples. Ce sont donc
des groupes cycliques d'ordre premier.
2) Il suffit de reprendre mot pour mot les démonstrations faites pour les groupes résolubles,
en changeant« commutatif» en« cyclique».
3) On considère une suite de composition cyclique d'un groupe G qui admet k facteurs monogènes infinis. Alors tout raffinement admet encore k facteurs monogènes infinis. En effet,
si H
isomorphe à un quotient de Z, donc cyclique. On a conservé le nombre des facteurs monogènes infinis. Si maintenant on considère deux suites de compositions cycliques, elles
ont des raffinements équivalents, et, donc, même nombre de facteurs monogènes infinis.
4) Examinons le cas où la suite est de longueur deux :
{e} ---t H ---t G
avec donc H cyclique et G /H cyclique. Si un générateur de H est x et un générateur de
G /H est yH, tout élément de G est dans une classe /H et peut donc s'écrire I x
e
, le groupe
est engendré par deux éléments. Cette analyse s'étend rapidement au cas d'une suite de
composition cyclique de longueur n.
On déduit de ce résultat qu'il existe des groupes résolubles qui ne sont pas polycycliques,
il suffit de prendre des groupes résolubles qui ne sont pas de type fini. C'est possible, ne
serait-ce qu'en prenant un groupe commutatif qui n'est pas de type fini.
www.bibliomath.com