5 • Groupe dérivé, groupes nilpotents, groupes résolubles
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2) Une suite centrale a pour facteur des sous-groupes inclus dans un centre, et qui sont donc
commutatifs.
3) Pour n = 2, S 2 est commutatif. Pour n = 3, la suite e � (o") � S 3 où cr est une permutation
circulaire, a des quotients commutatifs Z/2 et Z/3. Pour n = 4, la suite e � V � Ai � S4
a pour quotients V, Z/3, Z/2 et S4 est résoluble. En revanche, à partir de n = 5, la seule
suite de composition est : e � A,, � S,, et le groupe symétrique S,, n'est pas résoluble
car A,, est simple non commutatif. Enfin, l'exemple de S 3 est l'exemple le plus simple de
groupe résoluble qui n'est pas nilpotent.
5.3.9 La suite dérivée est par définition décroissante, chaque groupe dérivé est caractéristique dans le suivant et donc normal dans G, et le quotient d'un groupe par son groupe dérivé
est commutatif, c'est l'abélianisé de G. Si donc la suite dérivée aboutit à { e }, le groupe G est
résoluble.
Réciproquement, supposons G résoluble et soit
Ho = {e} �H 1 � ... H 11
= G
dont les facteurs sont abéliens. Alors
G/H,,_ 1 abélien => G' � H,,_ 1
comme vu dans l'exercice 5.1.9, et de même, par récurrence pour tous les groupes suivants.
Si donc G est résoluble, la suite dérivée stationne en { e}.
5.3.10 Si K est un sous-groupe de G et si (H;) est une suite de composition cyclique, alors
(H; n K) est une suite de composition de K décroissante ; le fait que H; n K<1H;+ 1 n K résulte
du second théorème d'isomorphisme, on peut écrire en effet :
H;
(H;+J n K)/(H; n K) 9É H;(H;+J n K)/H; � H;+i /H;
et le sous-groupe d'un groupe commutatif est commutatif : H est résoluble.
Considérons maintenant un quotient d'un groupe résoluble par un sous-groupe normal G/K.
Alors l'image par projection d'une suite de composition cyclique est une suite de composition. La projection est surjective, ce qui assure la normalité (cette suite est (H;K/K))). Le
troisième théorème d'isomorphisme donne ensuite :
(H;+ 1 K/K)/(H;K/K) 9t H;+ 1 K/H;K
Poursuivons.
H;+ 1 K/H;K 9t H;/(H;+ 1 K) n H;
par le second théorème d'isomorphisme ; mais (H;+ 1 K) n H; = H;+1 (K n H;) puisque
H;+ 1 � H;. Ainsi, notre quotient est isomorphe à H;/H;+ 1 (K n H;) qui est un quotient de
H;/H;+ 1 , et est donc commutatif.
5.3.1 1 On dispose d'une suite de composition à facteurs commutatifs pour N, notée (N;), et
d'une suite de composition à facteurs commutatifs de G/N, puisque ce groupe est isomorphe
à H. Mais d'après le théorème de correspondance, cette suite provient d'une suite (G;) de
sous-groupes telle que :
N = G 11 � G,,_ 1 � ... � G,, = G
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2) Une suite centrale a pour facteur des sous-groupes inclus dans un centre, et qui sont donc
commutatifs.
3) Pour n = 2, S 2 est commutatif. Pour n = 3, la suite e � (o") � S 3 où cr est une permutation
circulaire, a des quotients commutatifs Z/2 et Z/3. Pour n = 4, la suite e � V � Ai � S4
a pour quotients V, Z/3, Z/2 et S4 est résoluble. En revanche, à partir de n = 5, la seule
suite de composition est : e � A,, � S,, et le groupe symétrique S,, n'est pas résoluble
car A,, est simple non commutatif. Enfin, l'exemple de S 3 est l'exemple le plus simple de
groupe résoluble qui n'est pas nilpotent.
5.3.9 La suite dérivée est par définition décroissante, chaque groupe dérivé est caractéristique dans le suivant et donc normal dans G, et le quotient d'un groupe par son groupe dérivé
est commutatif, c'est l'abélianisé de G. Si donc la suite dérivée aboutit à { e }, le groupe G est
résoluble.
Réciproquement, supposons G résoluble et soit
Ho = {e} �H 1 � ... H 11
= G
dont les facteurs sont abéliens. Alors
G/H,,_ 1 abélien => G' � H,,_ 1
comme vu dans l'exercice 5.1.9, et de même, par récurrence pour tous les groupes suivants.
Si donc G est résoluble, la suite dérivée stationne en { e}.
5.3.10 Si K est un sous-groupe de G et si (H;) est une suite de composition cyclique, alors
(H; n K) est une suite de composition de K décroissante ; le fait que H; n K<1H;+ 1 n K résulte
du second théorème d'isomorphisme, on peut écrire en effet :
H;
(H;+J n K)/(H; n K) 9É H;(H;+J n K)/H; � H;+i /H;
et le sous-groupe d'un groupe commutatif est commutatif : H est résoluble.
Considérons maintenant un quotient d'un groupe résoluble par un sous-groupe normal G/K.
Alors l'image par projection d'une suite de composition cyclique est une suite de composition. La projection est surjective, ce qui assure la normalité (cette suite est (H;K/K))). Le
troisième théorème d'isomorphisme donne ensuite :
(H;+ 1 K/K)/(H;K/K) 9t H;+ 1 K/H;K
Poursuivons.
H;+ 1 K/H;K 9t H;/(H;+ 1 K) n H;
par le second théorème d'isomorphisme ; mais (H;+ 1 K) n H; = H;+1 (K n H;) puisque
H;+ 1 � H;. Ainsi, notre quotient est isomorphe à H;/H;+ 1 (K n H;) qui est un quotient de
H;/H;+ 1 , et est donc commutatif.
5.3.1 1 On dispose d'une suite de composition à facteurs commutatifs pour N, notée (N;), et
d'une suite de composition à facteurs commutatifs de G/N, puisque ce groupe est isomorphe
à H. Mais d'après le théorème de correspondance, cette suite provient d'une suite (G;) de
sous-groupes telle que :
N = G 11 � G,,_ 1 � ... � G,, = G
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