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Th éorie des groupes
Pour montrer que cette suite est centrale, il faut faire quelques calculs ... Utilisons les matrices
de transvection :
T ij (a.) = 1 + a.E ij
où a. est un élément du corps, et E ij la matrice nulle sauf l'élément e ij qui vaut 1. On vérifie
alors que E ij E j k = E; k , le produit étant nul dans tous les autres cas. On en déduit :
le commutant est l'identité dans tous les autres cas. Comme le groupe TU
111
(n, Il{) est engendré
par les transvections Tij (a.) pour lesquelsj - i > m, le calcul précédent montre que :
[TU
111
(n, OC), TU(n, OC)] :::;; TU" i +1 (n, OC)
ce qui prouve que la suite est centrale.
5.3.6 L'existence d'un tel k est assuré par la nilpotence du groupe. Soit donc x E Zk+ I \ H,
qui existe par définition de k. Montrons que x normalise H, soit h E H, alors, par définition
de Z k+I , on a:
d'où xhx1
E H.
5.3. 7 Soit G fini. On supposera que G n'est pas un p-groupe, cas où on sait déjà que G est
nilpotent et où les assertions qui suivent sont sans grand intérêt.
1) On suppose G nilpotent et l'on applique l'exercice précédent. Si S est un p-Sylow, alors
c'est un sous-groupe strict de son normalisateur N G (S). Mais le normalisateur d'un pSylow est autonormalisant (3.2. 13). On en déduit que notre normalisateur coïncide avec G
et donc que le p-Sylow S est normal dans G.
2) On peut alors montrer que G est produit direct de ses p-Sylow, c'est le même résultat que
dans le cas commutatif, dans l'exercice 4.1.3. Il suffit de voir que le produit des p-Sylow
est direct. En effet, le produit de deux p-Sylow est direct puisqu'ils sont normaux dans
G et que leur intersection est réduite au neutre (Lagrange) ; ce produit est encore normal
dans G, on achève par récurrence, et le produit de tous les p-Sylow est bien G tout entier,
puisque ces deux groupes ont le même cardinal.
3) Si G est produit direct de ses p-Sylow, alors il est nilpotent. En effet, le produit direct de
groupes nilpotents est nilpotent, et les p-Sylow sont nilpotents en tant que p-groupes.
Supposons maintenant que tout sous-groupe maximal d'un groupe fini G soit normal, et
soit Sun p-Sylow. Alors son normalisateur N G (S) n'est pas strictement inclus dans G, sinon il serait inclus dans un sous-groupe maximal H, normal dans G. Or, tout sous-groupe
contenant le normalisateur est auto-normalisant (3.2. 13), donc ne peut être normal dans G.
Il y a une contradiction, donc le normalisateur d'un p-Sylow est égal à G, tout p-Sylow est
normal et G est nilpotent. La réciproque est immédiate, toujours en appliquant l'exercice
précédent.
Il existe d'autres caractérisations des groupes nilpotents finis. Par exemple, on peut montrer que ce sont les groupes dont tout sous-groupe est sous-normal.
5.3.8 1) C'est immédiat, car un groupe simple non commutatif G n'a qu'une suite de composition, e:::;; G dont le facteur G n'est pas commutatif.
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Pour montrer que cette suite est centrale, il faut faire quelques calculs ... Utilisons les matrices
de transvection :
T ij (a.) = 1 + a.E ij
où a. est un élément du corps, et E ij la matrice nulle sauf l'élément e ij qui vaut 1. On vérifie
alors que E ij E j k = E; k , le produit étant nul dans tous les autres cas. On en déduit :
le commutant est l'identité dans tous les autres cas. Comme le groupe TU
111
(n, Il{) est engendré
par les transvections Tij (a.) pour lesquelsj - i > m, le calcul précédent montre que :
[TU
111
(n, OC), TU(n, OC)] :::;; TU" i +1 (n, OC)
ce qui prouve que la suite est centrale.
5.3.6 L'existence d'un tel k est assuré par la nilpotence du groupe. Soit donc x E Zk+ I \ H,
qui existe par définition de k. Montrons que x normalise H, soit h E H, alors, par définition
de Z k+I , on a:
d'où xhx1
E H.
5.3. 7 Soit G fini. On supposera que G n'est pas un p-groupe, cas où on sait déjà que G est
nilpotent et où les assertions qui suivent sont sans grand intérêt.
1) On suppose G nilpotent et l'on applique l'exercice précédent. Si S est un p-Sylow, alors
c'est un sous-groupe strict de son normalisateur N G (S). Mais le normalisateur d'un pSylow est autonormalisant (3.2. 13). On en déduit que notre normalisateur coïncide avec G
et donc que le p-Sylow S est normal dans G.
2) On peut alors montrer que G est produit direct de ses p-Sylow, c'est le même résultat que
dans le cas commutatif, dans l'exercice 4.1.3. Il suffit de voir que le produit des p-Sylow
est direct. En effet, le produit de deux p-Sylow est direct puisqu'ils sont normaux dans
G et que leur intersection est réduite au neutre (Lagrange) ; ce produit est encore normal
dans G, on achève par récurrence, et le produit de tous les p-Sylow est bien G tout entier,
puisque ces deux groupes ont le même cardinal.
3) Si G est produit direct de ses p-Sylow, alors il est nilpotent. En effet, le produit direct de
groupes nilpotents est nilpotent, et les p-Sylow sont nilpotents en tant que p-groupes.
Supposons maintenant que tout sous-groupe maximal d'un groupe fini G soit normal, et
soit Sun p-Sylow. Alors son normalisateur N G (S) n'est pas strictement inclus dans G, sinon il serait inclus dans un sous-groupe maximal H, normal dans G. Or, tout sous-groupe
contenant le normalisateur est auto-normalisant (3.2. 13), donc ne peut être normal dans G.
Il y a une contradiction, donc le normalisateur d'un p-Sylow est égal à G, tout p-Sylow est
normal et G est nilpotent. La réciproque est immédiate, toujours en appliquant l'exercice
précédent.
Il existe d'autres caractérisations des groupes nilpotents finis. Par exemple, on peut montrer que ce sont les groupes dont tout sous-groupe est sous-normal.
5.3.8 1) C'est immédiat, car un groupe simple non commutatif G n'a qu'une suite de composition, e:::;; G dont le facteur G n'est pas commutatif.
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